В социологическом исследовании случайным образом выбирают респондента для опроса из класса, в котором 12 юношей и 15 девушек. Известно, что из них 4 юноши и 6 девушек учаться на…
В социологическом исследовании случайным образом выбирают респондента для опроса из класса, в котором 12 юношей и 15 девушек. Известно, что из них 4 юноши и 6 девушек учаться на отлично по математике. Пусть событие А означает что выбран юноша, событие В означает что выбранный учащийся-отличник, событие С выбрана девушка-отличница. Найти вероятность их объединений А объединяет В, А объединяет С, В объединяет С
Для решения данной задачи по теории вероятностей, начнем с нахождения общего количества учащихся и распределения по категориям.
В классе всего 12 юношей и 15 девушек:
- Общее количество учащихся: \( 12 + 15 = 27 \).
Теперь определим количество отличников:
- Отличники среди юношей: 4 (событие \( A \)),
- Отличники среди девушек: 6 (событие \( C \)).
- Всего отличников: \( 4 + 6 = 10 \) (событие \( B \)).
Теперь можно найти каждую из запрашиваемых вероятностей.
Вероятность объединения событий \( A \) и \( B \) (обозначим как \( P(A \cup B) \)): Событие \( A \) — выбран юноша, событие \( B \) — выбран отличник. Мы знаем, что из 4 юношей-отличников вероятность того, что выбранный респондент юноша и при этом он отличник: \[ P(A) = \frac{12}{27} \] \[ P(B) = \frac{10}{27} \] \[ P(A \cap B) = \frac{4}{27} \]
Теперь используем формулу для вычисления вероятности объединения двух событий: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] \[ P(A \cup B) = \frac{12}{27} + \frac{10}{27} - \frac{4}{27} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}. \]
Вероятность объединения событий \( A \) и \( C \) (обозначим как \( P(A \cup C) \)): Событие \( C \) — выбрана девушка-отличница. Поскольку юноши и девушки не могут одновременно быть в одном событии, то: \[ P(C) = \frac{6}{27} \] \[ P(A \cap C) = 0. \]
Используем формулу для объединения: \[ P(A \cup C) = P(A) + P(C) - P(A \cap C) \] \[ P(A \cup C) = \frac{12}{27} + \frac{6}{27} - 0 = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}. \]
Вероятность объединения событий \( B \) и \( C \) (обозначим как \( P(B \cup C) \)): Мы знаем, что событие \( B \) — это выбранный отличник, а событие \( C \) — это выбранная девушка-отличница. Из 10 отличников 6 — это девушки: \[ P(B) = \frac{10}{27}, \quad P(C) = \frac{6}{27}, \quad P(B \cap C) = \frac{6}{27}. \]
Используем формулу для объединения: \[ P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C) \] \[ P(B \cup C) = \frac{10}{27} + \frac{6}{27} - \frac{6}{27} = \frac{10}{27}. \]
Таким образом, мы получили следующие вероятности:
- \( P(A \cup B) = \frac{2}{3} \),
- \( P(A \cup C) = \frac{2}{3} \),
- \( P(B \cup C) = \frac{10}{27} \).
Если у вас есть дополнительные вопросы по данной теме, не стесняйтесь спрашивать!
