Подбрасываются две игральные кости: а) запишите распределение для наибольшего из двух выпавших чисел; б) найдите медиану этого распределения.
При подбрасывании двух игральных костей необходимо рассмотреть распределение для наибольшего из двух выпавших чисел.
а) Распределение для наибольшего из двух выпавших чисел
Давайте обозначим наибольшее значение, выпавшее на двух костях, как \( M \). Возможные значения для \( M \) могут быть от 1 до 6 (так как на грани игральной кости могут быть числа от 1 до 6).
Для нахождения вероятностей каждого значения \( M \), рассмотрим все возможные комбинации значений, которые могут выпасть на двух костях. Всего существует \( 6 \times 6 = 36 \) возможных комбинаций. Теперь определим количество благоприятных случаев для каждого значения \( M \):
\( M = 1 \): Будет только 1 способ (1, 1).
- Вероятность: \( \frac{1}{36} \)
\( M = 2 \): Это случаи (1,2), (2,1), (2,2) – всего 3 способа.
- Вероятность: \( \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \)
\( M = 3 \): Это случаи (1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) – всего 5 способов.
- Вероятность: \( \frac{5}{36} \)
\( M = 4 \): Это случаи (1,4), (2,4), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) – всего 7 способов.
- Вероятность: \( \frac{7}{36} \)
\( M = 5 \): Это случаи (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5) – всего 9 способов.
- Вероятность: \( \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \)
\( M = 6 \): Это случаи (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) – всего 11 способов.
- Вероятность: \( \frac{11}{36} \)
Теперь можно записать распределение для наибольшего значения \( M \):
| \( M \) | Вероятность |
|---|---|
| 1 | \( \frac{1}{36} \) |
| 2 | \( \frac{1}{12} \) |
| 3 | \( \frac{5}{36} \) |
| 4 | \( \frac{7}{36} \) |
| 5 | \( \frac{1}{4} = \frac{9}{36} \) |
| 6 | \( \frac{11}{36} \) |
б) Нахождение медианы этого распределения
Чтобы найти медиану, нужно определить, при каком значении \( M \) будет достигнута половина общей вероятности, то есть 0.5.
Суммируем вероятности последовательно:
- \( P(M \leq 1) = \frac{1}{36} \) (сумма = \( \frac{1}{36} \))
- \( P(M \leq 2) = \frac{1}{36} + \frac{1}{12} = \frac{1}{36} + \frac{3}{36} = \frac{4}{36} \) (сумма = \( \frac{4}{36} \))
- \( P(M \leq 3) = \frac{4}{36} + \frac{5}{36} = \frac{9}{36} \) (сумма = \( \frac{9}{36} \))
- \( P(M \leq 4) = \frac{9}{36} + \frac{7}{36} = \frac{16}{36} \) (сумма = \( \frac{16}{36} \))
- \( P(M \leq 5) = \frac{16}{36} + \frac{9}{36} = \frac{25}{36} \) (сумма = \( \frac{25}{36} \))
- \( P(M \leq 6) = \frac{25}{36} + \frac{11}{36} = 1 \) (сумма = 1)
Как видно из сумм, медиана находится между 4 и 5, так как к 4 средней вероятности (0.5) не хватает, а при 5 она уже превышает 0.5. Таким образом, медиана распределения равна 5.
Ответ:
- Распределение для наибольшего из двух выпавших чисел записано в таблице.
- Медиана этого распределения равна 5.
