в какой точки графика y=✓x касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45°

Чтобы найти точку на графике функции \( y = \sqrt{x} \), в которой касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45°, нам нужно выяснить, при каком значении \( x \) угловой коэффициент касательной равен 1. Это связано с тем, что угол в 45° соответствует угловому коэффициенту (или производной) равному 1.

1. Найдём производную функции \( y = \sqrt{x} \). Используя правило дифференцирования, получаем: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}. \]

2. Установим, что производная равна 1 для угла наклона 45°: \[ \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1. \]

3. Перепишем уравнение и решим его: \[ 2\sqrt{x} = 1 \implies \sqrt{x} = \frac{1}{2}. \]

4. Возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}. \]

5. Теперь подставим значение \( x \) обратно в \( y = \sqrt{x} \), чтобы найти соответствующее значение \( y \): \[ y = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}. \]

Таким образом, точка на графике, в которой касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45°, является \( \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) \).