Решите неравенство 4х^2-12х+9/х+5 меньше или равняется 0
Для решения неравенства
\[ \frac{4x^2 - 12x + 9}{x + 5} \leq 0 \]
необходимо сначала упростить и проанализировать числитель и знаменатель.
Найдем корни числителя: Начнем с решения уравнения:
\[ 4x^2 - 12x + 9 = 0 \]
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0 \]
Поскольку дискриминант равен нулю, то у нас есть один двойной корень:
\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]
То есть, \( \frac{4x^2 - 12x + 9}{x + 5} \) имеет двойной корень в \( x = \frac{3}{2} \).
Анализ знаменателя:
Знаменатель \( x + 5 = 0 \) дает корень:
\[ x = -5 \]
Построим числовую прямую и определим интервалы:
У нас есть два важный точки: \( x = -5 \) и \( x = \frac{3}{2} \). Эти точки разделяют числовую прямую на три интервала:
- \( (-\infty, -5) \)
- \( (-5, \frac{3}{2}) \)
- \( (\frac{3}{2}, \infty) \)
Определим знак функции на каждом интервале:
Для интервала \( (-\infty, -5) \): Выберем, например, \( x = -6 \):
\[ \frac{4(-6)^2 - 12(-6) + 9}{-6 + 5} = \frac{144 + 72 + 9}{-1} = \frac{225}{-1} < 0 \]
Для интервала \( (-5, \frac{3}{2}) \): Выберем \( x = 0 \):
\[ \frac{4(0)^2 - 12(0) + 9}{0 + 5} = \frac{9}{5} > 0 \]
Для интервала \( (\frac{3}{2}, \infty) \): Выберем \( x = 2 \):
\[ \frac{4(2)^2 - 12(2) + 9}{2 + 5} = \frac{16 - 24 + 9}{7} = \frac{1}{7} > 0 \]
Теперь мы можем выводить знаки:
- Интервал \( (-\infty, -5) \): знак отрицательный
- Интервал \( (-5, \frac{3}{2}) \): знак положительный
- Интервал \( (\frac{3}{2}, \infty) \): знак положительный
- Определяем, где неравенство справедливо:
Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю. Это выполняется на интервале \( (-\infty, -5) \) и в точке \( \frac{3}{2} \) (где числитель равен нулю):
- Записываем окончательный ответ:
Таким образом, решение неравенства:
\[ x \in (-\infty, -5) \cup \left\{ \frac{3}{2} \right\} \]
Это и есть решение данного неравенства!
