• Даны вершины тетраэдра: • A(1; 3; 6), B(2; 2; 1), C(-1; 0; 1), D(-4; 6; -3). • Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.
Чтобы найти длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины D на основание ABC, следуем следующим шагам.
Найдем уравнение плоскости ABC. Для этого необходимо найти векторы AB и AC:
- \( \vec{AB} = B - A = (2 - 1, 2 - 3, 1 - 6) = (1, -1, -5) \)
- \( \vec{AC} = C - A = (-1 - 1, 0 - 3, 1 - 6) = (-2, -3, -5) \)
Вычислим вектор нормали к плоскости ABC. Для этого используем векторное произведение векторов AB и AC: \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -5 \\ -2 & -3 & -5 \end{vmatrix} \]
Для вычисления детерминанта: \[ \vec{n} = \hat{i}((-1)(-5) - (-5)(-3)) - \hat{j}(1 \cdot (-5) - (-5)(-2)) + \hat{k}(1 \cdot (-3) - (-1)(-2)) \] \[ = \hat{i}(5 - 15) - \hat{j}(-5 - 10) + \hat{k}(-3 - 2) \] \[ = \hat{i}(-10) + \hat{j}(15) + \hat{k}(-5) = (-10, 15, -5) \]
Составим уравнение плоскости ABC в виде \( Ax + By + Cz + D = 0 \), где \( A = -10 \), \( B = 15 \), \( C = -5 \). Подставим точку A(1, 3, 6) для нахождения D: \[ -10(1) + 15(3) - 5(6) + D = 0 \] \[ -10 + 45 - 30 + D = 0 \Rightarrow D = -5 \] Таким образом, уравнение плоскости: \[ -10x + 15y - 5z - 5 = 0 \quad \text{или} \quad -10x + 15y - 5z = 5. \]
Найдем расстояние от точки D до плоскости ABC с помощью формулы для расстояния от точки до плоскости: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Подставим координаты точки D(-4, 6, -3): \[ d = \frac{|-10(-4) + 15(6) - 5(-3) - 5|}{\sqrt{(-10)^2 + 15^2 + (-5)^2}} \] \[ = \frac{|40 + 90 + 15 - 5|}{\sqrt{100 + 225 + 25}} = \frac{|140|}{\sqrt{350}} = \frac{140}{5\sqrt{14}} = \frac{28}{\sqrt{14}} = 2\sqrt{14}. \]
Таким образом, длина высоты, опущенной из вершины D на основание ABC, равна \( 2\sqrt{14} \).
