• Даны вершины тетраэдра: • A(1; 3; 6), B(2; 2; 1), C(-1; 0; 1), D(-4; 6; -3). • Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

Чтобы найти длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины D на основание, состоящее из вершины A, B и C, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем уравнение плоскости ABC. Для этого используем координаты вершин A, B и C.

   Вершины:

   • \(A(1; 3; 6)\)
   • \(B(2; 2; 1)\)
   • \(C(-1; 0; 1)\)

   Сначала найдем векторы AB и AC: \[ \vec{AB} = B - A = (2-1, 2-3, 1-6) = (1, -1, -5) \] \[ \vec{AC} = C - A = (-1-1, 0-3, 1-6) = (-2, -3, -5) \]

   Теперь найдем нормальный вектор к плоскости ABC, который равен векторному произведению векторов AB и AC: \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} \]

   Рассчитаем это произведение: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -5 \\ -2 & -3 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}((-1)(-5) - (-5)(-3)) - \hat{j}(1 \cdot (-5) - (-5)(-2)) + \hat{k}(1 \cdot (-3) - (-1)(-2)) \] \[ = \hat{i}(5 - 15) - \hat{j}(-5 - 10) + \hat{k}(-3 - 2) \] \[ = \hat{i}(-10) - \hat{j}(-15) - 5\hat{k} \] \[ = (-10, 15, -5) \]

   Уравнение плоскости ABC можно записать в виде: \[ -10(x - 1) + 15(y - 3) - 5(z - 6) = 0 \] Упростим уравнение: \[ -10x + 15y - 5z + 10 - 45 + 30 = 0 \implies -10x + 15y - 5z - 5 = 0 \implies -2x + 3y - z = 1 \]

2. Найдем расстояние от точки D до плоскости ABC. Расстояние от точки \(D(x_0, y_0, z_0)\) до плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\) вычисляется по формуле: \[ \text{Расстояние} = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] В данном случае \(A = -2\), \(B = 3\), \(C = -1\), \(D = -1\) и точка \(D(-4; 6; -3)\).

   Подставляем данные: \[ \text{Расстояние} = \frac{|-2(-4) + 3(6) - (-3) - 1|}{\sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-1)^2}} \] \[ = \frac{|8 + 18 + 3 - 1|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{|28|}{\sqrt{14}} = \frac{28}{\sqrt{14}} = 28 \cdot \frac{\sqrt{14}}{14} = 2\sqrt{14} \]

Таким образом, длина высоты тетраэдра, опущенной из вершины D, равна \(2\sqrt{14}\).