Найдите значения х, при которых: а) значения функции y = 3x ^ 2 + 2x - 1 ции y = x ^ 2 - x + 1 меньше значений функ- б) значения функции y = - 4x ^ 2 + x + 1 больше значений функ- ции y = 2 - 4x

Чтобы найти значения \( x \), при которых одна функция меньше другой или больше другой, нужно рассмотреть соответствующие неравенства.

a) Найти \( x \), при которых \( y = 3x^2 + 2x - 1 < y = x^2 - x + 1 \)

Для этого нужно решить неравенство: \[ 3x^2 + 2x - 1 < x^2 - x + 1 \]

Переносим все выражения на одну сторону: \[ 3x^2 + 2x - 1 - (x^2 - x + 1) < 0 \] \[ 3x^2 + 2x - 1 - x^2 + x - 1 < 0 \] \[ 2x^2 + 3x - 2 < 0 \]

Теперь решим неравенство \( 2x^2 + 3x - 2 < 0 \) с помощью нахождения корней: Решим уравнение \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \]

Теперь находим корни: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Теперь у нас имеется два корня: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = \frac{1}{2} \).

Теперь определим знаки квадратичной функции между корнями:

• Протестируем значения, например, \( x = -3 \), \( x = 0 \), и \( x = 1 \).

1. При \( x = -3: 2(-3)^2 + 3(-3) - 2 = 18 - 9 - 2 = 7 > 0 \)
2. При \( x = 0: 2(0)^2 + 3(0) - 2 = -2 < 0 \)
3. При \( x = 1: 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 2 + 3 - 2 = 3 > 0 \)

Таким образом, \( 2x^2 + 3x - 2 < 0 \) на интервале \( (-2, \frac{1}{2}) \).

Ответ для (a)

\( x \) из интервала: \( (-2, \frac{1}{2}) \)

б) Найти \( x \), при которых \( y = -4x^2 + x + 1 > y = 2 - 4x \)

Решаем неравенство: \[ -4x^2 + x + 1 > 2 - 4x \]

Переносим все в одну сторону: \[ -4x^2 + x + 1 - 2 + 4x > 0 \] \[ -4x^2 + 5x - 1 > 0 \]

Умножим неравенство на -1, не забыв поменять знак: \[ 4x^2 - 5x + 1 < 0 \]

Решим уравнение \( 4x^2 - 5x + 1 = 0 \) с помощью дискриминанта \( D \): \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 \]

Находим корни: \[ x_1 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] \[ x_2 = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]

У нас есть корни \( x_1 = \frac{1}{4} \) и \( x_2 = 1 \).

Теперь определим знаки:

• Проведем тестирование значений \( x = 0 \), \( x = \frac{1}{2} \), и \( x = 2 \):

1. При \( x = 0: 4(0)^2 - 5(0) + 1 = 1 > 0 \)
2. При \( x = \frac{1}{2}: 4(\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) + 1 = 1 - \frac{5}{2} + 1 = -\frac{1}{2} < 0 \)
3. При \( x = 2: 4(2)^2 - 5(2) + 1 = 16 - 10 + 1 = 7 > 0 \)

Таким образом, \( 4x^2 - 5x + 1 < 0 \) на интервале \( \left( \frac{1}{4}, 1 \right) \).

Ответ для (б)

\( x \) из интервала: \( \left( \frac{1}{4}, 1 \right) \)

Итог

a) \( x \in (-2, \frac{1}{2}) \)

b) \( x \in \left( \frac{1}{4}, 1 \right) \)