В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°, ВС = корень 3/6 . Найдите АС.

Для решения задачи воспользуемся законом синусов. В треугольнике ABC:

• угол A = 45°
• угол B = 60°
• угол C = 180° - (45° + 60°) = 75°

Далее, по закону синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

где:

• a = BC,
• b = AC,
• c = AB.

Зная, что \( BC = \frac{\sqrt{3}}{6} \), мы можем выразить AC (b):

\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]

Подставляем значения:

\[ \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ} \]

Значения синусов:

\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь подставим их в уравнение:

\[ \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Упростим левую часть:

\[ \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \]

Теперь у нас есть:

\[ \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{AC \cdot \sqrt{3}}{2} \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ \frac{2\sqrt{6}}{6} = AC \cdot \sqrt{3} \]

Сократим 2 и 6:

\[ \frac{\sqrt{6}}{3} = AC \cdot \sqrt{3} \]

Теперь разделим обе стороны на \(\sqrt{3}\):

\[ AC = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]

Таким образом, \( AC = \frac{\sqrt{6}}{3} \).