В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°, ВС = 3корень6 . Найдите АС.

Для нахождения стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \) с углом \( A = 45^\circ \), углом \( B = 60^\circ \) и стороной \( BC = 3\sqrt{6} \) можно использовать закон синусов.

Сначала найдем третий угол \( C \):

\[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \]

Теперь можем записать закон синусов:

\[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{3\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} \]

Значения синусов равны:

\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим их в уравнение:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{3\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{12} = 6\sqrt{3} \]

Теперь у нас есть:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \]

Умножим обе стороны уравнения на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ AC = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 \]

Таким образом, длина стороны \( AC \) равна \( 9 \).