1 сторона треугольника на 2 сантиметра больше другой а угол между ними равен 120 градусов найдите периметр треугольника если его 3 сторона равна 7
Для решения задачи давайте обозначим стороны треугольника. Пусть одна сторона равна \(x\), тогда другая сторона будет \(x + 2\) сантиметра. Нам известно, что угол между этими двумя сторонами равен 120 градусов, а третья сторона равна 7 сантиметрам.
Согласно косинусному правилу, для треугольника справедливо следующее соотношение:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]
где \(c\) — это длина стороны, противолежащей углу \(C\), \(a\) и \(b\) — это длины других сторон. В нашем случае:
- \(c = 7\)
- \(a = x\)
- \(b = x + 2\)
- \(C = 120\) градусов
Подставим значения в формулу:
\[ 7^2 = x^2 + (x + 2)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 2) \cdot \cos(120^\circ) \]
Значение \(\cos(120^\circ)\) равно \(-\frac{1}{2}\). Подставим это значение:
\[ 49 = x^2 + (x^2 + 4x + 4) + x \cdot (x + 2) \]
Супер! Теперь упрощаем уравнение:
\[ 49 = x^2 + x^2 + 4x + 4 + ( -(-\frac{1}{2}) \cdot 2 \cdot x \cdot (x + 2) ) \]
Эта запись можно упростить:
\[ 49 = 2x^2 + 4x + 4 + (x^2 + 2x) \]
Соберем все термины:
\[ 49 = 3x^2 + 6x + 4 \]
Теперь перенесем 49 на правую сторону:
\[ 0 = 3x^2 + 6x + 4 - 49 \]
Упростим уравнение:
\[ 0 = 3x^2 + 6x - 45 \]
Разделим всё на 3:
\[ 0 = x^2 + 2x - 15 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 8}{2} \]
Это дает нам два значения:
- \(x = \frac{6}{2} = 3\)
- \(x = \frac{-10}{2} = -5\) (отрицательное значение не подходит для длины стороны)
Поэтому \(x = 3\). Теперь найдем длины сторон:
- Первая сторона: \(x = 3\) см
- Вторая сторона: \(x + 2 = 5\) см
- Третья сторона: 7 см
Теперь найдем периметр треугольника:
\[ P = 3 + 5 + 7 = 15 \text{ см} \]
Итак, периметр треугольника равен \(15\) сантиметров.
