Объяснение последовательности которая называется ограниченной сверху или снизуa_{n} = 1/(n ^ 2 + 1)

Последовательность, заданная формулой \( a_n = \frac{1}{n^2 + 1} \), является примером ограниченной последовательности. Давайте подробнее рассмотрим, что это значит и как это работает.

1. Определение ограниченности:

   • Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число \( M \), что для всех \( n \) выполняется \( a_n \leq M \).
   • Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число \( m \), что для всех \( n \) выполняется \( a_n \geq m \).

2. Анализ последовательности \( a_n = \frac{1}{n^2 + 1} \):

   • Сначала рассмотрим, как ведёт себя \( a_n \) при больших значениях \( n \).
   • При \( n \) стремящемся к бесконечности, \( n^2 \) растёт быстрее, чем 1, поэтому \( n^2 + 1 \) также становится большим. Это приводит к тому, что \( a_n \) стремится к 0: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + 1} = 0 \]
   • Таким образом, можно сказать, что последовательность не может быть меньше 0, то есть \( a_n \geq 0 \) для всех \( n \). Это означает, что последовательность ограничена снизу с нижней границей \( m = 0 \).

3. Ограниченность сверху:

   • Для нахождения верхней границы, заметим, что значение \( a_n \) будет максимальным при \( n = 0 \) (хотя технически последовательность начинается с \( n = 1 \) в этом случае): \[ a_1 = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} \]
   • Для всех \( n \geq 1 \), значение \( n^2 + 1 \) всегда больше или равно 2, следовательно, \( a_n \) всегда меньше или равно \( \frac{1}{2} \): \[ a_n \leq \frac{1}{2} \]
   • Таким образом, верхняя граница последовательности \( M \) будет равна \( \frac{1}{2} \).

4. Вывод:

   • Последовательность \( a_n = \frac{1}{n^2 + 1} \) ограничена снизу нулём и ограничена сверху \( \frac{1}{2} \). Это значит, что для всех \( n \) выполняется: \[ 0 \leq a_n \leq \frac{1}{2} \]

Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь задавать!