(x+9)(x-2)(x-15)<0

Решим неравенство \((x+9)(x-2)(x-15)<0\).

1. Найдем корни: Мы начинаем с того, что находим корни выражения:

   • \(x + 9 = 0 \implies x = -9\)
   • \(x - 2 = 0 \implies x = 2\)
   • \(x - 15 = 0 \implies x = 15\)

   Итак, корни: \(x = -9\), \(x = 2\), \(x = 15\).

2. Разобьем числовую прямую: Эти корни делят числовую прямую на интервалии:

   • \((-\infty, -9)\)
   • \((-9, 2)\)
   • \((2, 15)\)
   • \((15, +\infty)\)

3. Определим знак на каждом интервале: Теперь проверим знак произведения \((x+9)(x-2)(x-15)\) на каждом интервале, выбрав тестовые значения:

   • Для \((-\infty, -9)\), например \(x = -10\): \[ (-10 + 9)(-10 - 2)(-10 - 15) = (-1)(-12)(-25) < 0 \]
   • Для \((-9, 2)\), например \(x = 0\): \[ (0 + 9)(0 - 2)(0 - 15) = (9)(-2)(-15) > 0 \]
   • Для \((2, 15)\), например \(x = 10\): \[ (10 + 9)(10 - 2)(10 - 15) = (19)(8)(-5) < 0 \]
   • Для \((15, +\infty)\), например \(x = 20\): \[ (20 + 9)(20 - 2)(20 - 15) = (29)(18)(5) > 0 \]

4. Соберем результаты: Мы имеем:

   • На интервале \((-\infty, -9)\) знак отрицательный.
   • На интервале \((-9, 2)\) знак положительный.
   • На интервале \((2, 15)\) знак отрицательный.
   • На интервале \((15, +\infty)\) знак положительный.

5. Запишем решение: Мы ищем, где произведение меньше нуля: \[ (-\infty, -9) \cup (2, 15) \]

Таким образом, решение неравенства \((x+9)(x-2)(x-15)<0\) — это интервалы \((-∞, -9)\) и \((2, 15)\).