Маленький упругий мячик упал на горизонтальную твердую поверхность с высоты 1 м при каждом падении он подпрыгивает на высоту которая вдвое меньше предыдущей найти общее расстояние которое пройдёт мячик к моменту остановки

Когда маленький упругий мячик падает с высоты 1 метра, он подпрыгивает на высоту, которая в два раза меньше каждой предыдущей. Давайте разберемся, как определить общее расстояние, которое пройдет мячик до тех пор, пока не остановится.

1. Первый падение: Мячик падает с высоты 1 м. Это первое расстояние, которое он проходит.

2. Первый отскок: После удара о поверхность, мячик подпрыгивает на высоту \( \frac{1}{2} \) м (т.е. 0.5 м).

3. Второй падение: Затем мячик снова падает с высоты 0.5 м на землю.

4. Второй отскок: После этого он подпрыгивает на высоту \( \frac{1}{4} \) м (т.е. 0.25 м) и снова падает.

5. Далее: Этот процесс продолжается, при каждом отскоке мячик поднимается на половину от высоты предыдущего отскока.

Теперь давайте суммируем расстояния, которые проходит мячик:

• При каждом падении мячик проходит определенную высоту вниз, а затем поднимается на меньшую высоту вверх.
• Полное расстояние состоит из суммы всех падений и подскоков, которые можно представить как:

\[ S = h_1 + (h_2 + h_2) + (h_3 + h_3) + \ldots \]

Где:

• \( h_1 = 1 \) м (первое падение)
• \( h_2 = 0.5 \) м (первый отскок)
• \( h_3 = 0.25 \) м (второй отскок)
• и так далее (все последующие высоты).

Сумма расстояний по всем падениям и подскокам формирует бесконечную геометрическую прогрессии.

Общая формула для расстояния:

\[ S = h_1 + 2 \cdot (h_2 + h_3 + h_4 + ...) \]

где:

• \( h_1 = 1 \)
• \( h_2, h_3, h_4 \) и так далее - высоты отскоков, начинающиеся с \( 0.5 \) м и уменьшающиеся в два раза.

Сумма отскоков — это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом \( a = 0.5 \) и знаменателем \( r = 0.5 \):

\[ S_{\text{отскок}} = \frac{a}{1 - r} = \frac{0.5}{1 - 0.5} = 1 \]

Теперь подставим это в выражение для общего расстояния:

\[ S = 1 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3 \text{ метра} \]

Таким образом, общее расстояние, которое пройдет мячик до остановки, составляет 3 метра.