2x⁴+5x²+6=0

Чтобы решить уравнение \(2x^4 + 5x^2 + 6 = 0\), давайте сделаем замену переменной. Пусть \(y = x^2\). Тогда уравнение можно переписать как:

\[2y^2 + 5y + 6 = 0.\]

Теперь это квадратное уравнение относительно \(y\). Чтобы найти его корни, можем воспользоваться формулой для решения квадратных уравнений:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = 6\).

Сначала найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 25 - 48 = -23.\]

Так как дискриминант отрицателен (\(D < 0\)), это означает, что корней в действительных числах нет. В данном случае, уравнение имеет два комплексных корня.

Теперь можем найти эти корни:

\[y = \frac{-5 \pm \sqrt{-23}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm i\sqrt{23}}{4}.\]

Теперь возвращаемся к переменной \(x\). Поскольку \(y = x^2\), у нас:

\[x^2 = \frac{-5 \pm i\sqrt{23}}{4}.\]

Таким образом, корни для \(x\) будут:

\[x = \pm \sqrt{\frac{-5 + i\sqrt{23}}{4}},\] \[x = \pm \sqrt{\frac{-5 - i\sqrt{23}}{4}}.\]

Эти выражения представляют собой комплексные числа. В общем случае, у уравнения \(2x^4 + 5x^2 + 6 = 0\) нет действительных решений, только комплексные.