X⁴+14x²+48=0

Чтобы решить уравнение \( x^4 + 14x^2 + 48 = 0 \), мы можем использовать замену переменной. Давайте обозначим \( y = x^2 \). Таким образом, уравнение может быть записано как:

\[ y^2 + 14y + 48 = 0. \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы для нахождения корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 1 \), \( b = 14 \), и \( c = 48 \).

Подставляем значения в формулу:

1. Сначала считаем дискриминант:

   \[ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4. \]

2. Теперь находим корни:

   \[ y = \frac{-14 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 \pm 2}{2}. \]

Это приводит нас к двум решениям:

• Первое решение:

  \[ y_1 = \frac{-14 + 2}{2} = \frac{-12}{2} = -6. \]

• Второе решение:

  \[ y_2 = \frac{-14 - 2}{2} = \frac{-16}{2} = -8. \]

Поскольку \( y = x^2 \) и оба полученных значения \( -6 \) и \( -8 \) отрицательны, это означает, что у \( x^2 = -6 \) и \( x^2 = -8 \) нет действительных решений. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, у данного уравнения нет действительных корней. Если же вас интересуют комплексные корни, мы можем добавить \( i \):

1. Для \( y_1 = -6 \):

   \( x^2 = -6 \Rightarrow x = \pm \sqrt{-6} = \pm i\sqrt{6}. \)

2. Для \( y_2 = -8 \):

   \( x^2 = -8 \Rightarrow x = \pm \sqrt{-8} = \pm i\sqrt{8} = \pm 2i\sqrt{2}. \)

В итоге, мы получаем четыре комплексных корня:

\[ x = i\sqrt{6}, \quad x = -i\sqrt{6}, \quad x = 2i\sqrt{2}, \quad x = -2i\sqrt{2}. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!