Дан куб 3x3x3 с измерениями клеточки. Требуется закрасить некоторые из них так, чтобы никакие две закрашенные клеточки не соприкасались по стороне. Какое наибольшее количество…

Для куба \(3 \times 3 \times 3\) мы имеем 27 клеточек в общем. Чтобы максимизировать количество закрашенных клеточек, мы можем использовать стратегию, которая позволит избежать соприкосновения закрашенных клеточек, обращая внимание на их расположение.

Одним из простых способов является использование шахматной раскраски. В шахматной раскраске клетки чередуются по цветам, и мы можем закрашивать только клетки одного цвета. При этом клетки одного цвета никогда не соприкасаются по стороне.

В кубе \(3 \times 3 \times 3\) можно представить клеточки как слои на трёх уровнях. Если мы рассмотрим клетки по слоям, то у нас получается:

• Первый слой:

  • Черные: (1,1,1), (1,3,1), (3,1,1), (3,3,1)
  • Белые: (1,2,1), (2,1,1), (2,3,1), (3,2,1)

• Второй слой:

  • Черные: (1,1,2), (1,3,2), (3,1,2), (3,3,2)
  • Белые: (1,2,2), (2,1,2), (2,3,2), (3,2,2)

• Третий слой:

  • Черные: (1,1,3), (1,3,3), (3,1,3), (3,3,3)
  • Белые: (1,2,3), (2,1,3), (2,3,3), (3,2,3)

Каждый слой 3x3 может быть расставлен таким образом, чтобы закрашивать только черные или только белые клетки.

Таким образом, в каждом слое 3x3 мы можем закрасить 5 клеток одного цвета (черные или белые), что дает:

• 5 клеток в первом слое,
• 5 клеток во втором слое,
• 5 клеток в третьем слое.

Итого, если мы закрашиваем 5 клеток в каждом слое, общее количество закрашенных клеток будет равно:

\[ 5 + 5 + 5 = 15 \]

Следовательно, наибольшее количество клеточек, которое можно закрасить, не соприкасаясь по стороне, равно \( \boxed{14} \).