Напишите уравнение окружности, проходящей через точку, A (1 ; 3) если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. сколько существует таких окружностей?
Чтобы написать уравнение окружности, необходимо знать координаты центра окружности и радиус. В данном случае известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, значит, его координаты имеют вид \((x_0, 0)\), где \(x_0\) — это абсцисса центра.
Радиус окружности равен 5.
Уравнение окружности имеет вид:
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
Подставляем \(y_0 = 0\) и \(r = 5\):
\[ (x - x_0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2 \]
или
\[ (x - x_0)^2 + y^2 = 25 \]
Теперь, так как окружность проходит через точку \(A(1, 3)\), подставим эту точку в уравнение окружности:
\[ (1 - x_0)^2 + 3^2 = 25 \]
Упрощаем:
\[ (1 - x_0)^2 + 9 = 25 \]
\[ (1 - x_0)^2 = 16 \]
Теперь найдём корни этого уравнения:
\[ 1 - x_0 = 4 \quad \text{или} \quad 1 - x_0 = -4 \]
Из первого уравнения:
\[ 1 - 4 = x_0 \implies x_0 = -3 \]
Из второго уравнения:
\[ 1 + 4 = x_0 \implies x_0 = 5 \]
Таким образом, существуют две окружности, проходящие через точку \(A(1, 3)\) с центрами \(C(-3, 0)\) и \(C(5, 0)\).
Итак, итоговые уравнения окружностей:
- \((x + 3)^2 + y^2 = 25\)
- \((x - 5)^2 + y^2 = 25\)
Всего существует две окружности, которые удовлетворяют данным условиям.
