В треугольнике ABC угол c=135°, ab= 7√2, bc=7

Для решения задачи оtriangle ABC, где угол C равен 135°, а стороны AB и BC равны \( AB = 7\sqrt{2} \) и \( BC = 7 \), можно использовать теорему косинусов.

Сначала введём обозначения:

• \( AB = c = 7\sqrt{2} \)
• \( BC = a = 7 \)
• \( AC = b \) (это то, что нам нужно найти)
• Угол C = 135°

Согласно теореме косинусов, для треугольника ABC справедливо: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

Подставляем известные значения: \[ (7\sqrt{2})^2 = 7^2 + b^2 - 2 \cdot 7 \cdot b \cdot \cos(135°) \]

Значения косинуса: \(\cos(135°) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Теперь заменим это в формулу: \[ (7\sqrt{2})^2 = 7^2 + b^2 - 2 \cdot 7 \cdot b \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \]

Посчитаем: \[ 98 = 49 + b^2 + \frac{14b}{\sqrt{2}} \]

Теперь упростим: \[ 98 = 49 + b^2 + 7\sqrt{2}b \] \[ 49 = b^2 + 7\sqrt{2}b \] \[ b^2 + 7\sqrt{2}b - 49 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью discriminant (дискриминанта): \[ D = (7\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-49) = 98 + 196 = 294 \]

Теперь найдём корни: \[ b = \frac{-7\sqrt{2} \pm \sqrt{294}}{2} \]

Значение под корнем: \(\sqrt{294} = \sqrt{49 \cdot 6} = 7\sqrt{6}\)

Таким образом, получаем: \[ b = \frac{-7\sqrt{2} \pm 7\sqrt{6}}{2} \]

Выберем положительный корень: \[ b = \frac{7(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \]

Таким образом, длина стороны AC равна \(\frac{7(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}\). Это и будет искомая длина стороны.