Докажите теорему: если функции у= f(х), у= g(x) определены на множестве Х и наибольшее значение одной из этих функций на Х, равное А, совпадает с наименьшим значением другой функции на том же множестве, то уравнение f(x) = g(x) равносильно на Х системе уравнений f(x) = A, { g(x) = A.

Чтобы доказать данную теорему, начнем с формулировки. Пусть функции \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) определены на множестве \( X \), и наибольшее значение функции \( f(x) \) равно \( A \), а наименьшее значение функции \( g(x) \) также равно \( A \).

В соответствии с условием, это означает:

1. \( f(x) \leq A \) для всех \( x \in X \), причем равенство \( f(x) = A \) достигается для хотя бы одного значения \( x_1 \in X \).
2. \( g(x) \geq A \) для всех \( x \in X \), причем равенство \( g(x) = A \) также достигается для хотя бы одного значения \( x_2 \in X \).

Теперь рассмотрим уравнение \( f(x) = g(x) \) на множестве \( X \).

Для того чтобы уравнение \( f(x) = g(x) \) имело решение, необходимо, чтобы обе функции пересекались. Это значит, что на некотором \( x \) должно выполняться: \[ f(x) = g(x) \]

Однако по условиям теоремы, у нас есть:

1. Если \( f(x) = A \), то для этого \( x \) должно выполняться \( g(x) \geq A \).
2. Если \( g(x) = A \), то для этого \( x \) должно выполняться \( f(x) \leq A \).

Таким образом, существует такая точка \( x_0 \in X \), при которой \( f(x_0) = A \) и \( g(x_0) = A \). Это значит, что в этом случае: \[ f(x_0) = g(x_0) \]

Теперь рассмотрим системы уравнений: \[ \begin{cases} f(x) = A \\ g(x) = A \end{cases} \]

Если хотя бы одно из уравнений выполняется для некоторого \( x \), то оба уравнения будут равносторонними при \( f(x) = g(x) \) в точке \( x_0 \).

Следовательно, уравнение \( f(x) = g(x) \) эквивалентно системе уравнений, где обе функции равны \( A \) в одном и том же \( x \). Таким образом, мы приходим к выводу, что: \[ f(x) = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) = A \\ g(x) = A \end{cases} \]

Это завершает доказательство теоремы.