A^2 + b^2 <= 2(a + b - 1)

Давайте разберем неравенство \( a^2 + b^2 \leq 2(a + b - 1) \).

Сначала упростим его. Перепишем неравенство:

\[ a^2 + b^2 \leq 2a + 2b - 2. \]

Теперь перенесем все выражения на одну сторону:

\[ a^2 + b^2 - 2a - 2b + 2 \leq 0. \]

Следующий шаг — это преобразовать левую часть. Мы можем сгруппировать и использовать метод Completing the Square (завершение квадрата):

\[ (a^2 - 2a) + (b^2 - 2b) + 2 \leq 0. \]

Теперь завершаем квадрат для каждого из выражений:

\[ (a - 1)^2 - 1 + (b - 1)^2 - 1 + 2 \leq 0. \]

Это упростится до:

\[ (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \leq 0. \]

Так как сумма квадратов всегда неотрицательна, единственный способ, при котором данное неравенство выполняется, — это когда оба квадрата равны нулю. Это означает:

\[ (a - 1)^2 = 0 \quad \text{и} \quad (b - 1)^2 = 0. \]

Следовательно:

\[ a - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 1, \] \[ b - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 1. \]

Таким образом, единственное решение, которое удовлетворяет неравенству \( a^2 + b^2 \leq 2(a + b - 1) \), это \( a = 1 \) и \( b = 1 \).

Если у вас есть дополнительные вопросы по теме, не стесняйтесь спрашивать!