Представте дробь 4х+3:х² в виде суммы двух дробей со знаменателями х-1 и х+1

Чтобы представить дробь \(\frac{4x + 3}{x^2}\) в виде суммы двух дробей со знаменателями \(x - 1\) и \(x + 1\), начнем с разложения.

Сначала преобразуем дробь:

\[ \frac{4x + 3}{x^2} = \frac{4x + 3}{(x - 1)(x + 1)} \]

И мы хотим записать это в виде:

\[ \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} \]

где \(A\) и \(B\) — это константы, которые нам нужно найти. Чтобы объединить дроби, у нас будет общий знаменатель:

\[ \frac{A(x + 1) + B(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4x + 3}{(x - 1)(x + 1)} \]

Теперь приравняем числители:

\[ A(x + 1) + B(x - 1) = 4x + 3 \]

Раскроем скобки:

\[ Ax + A + Bx - B = 4x + 3 \]

Соберем подобные:

\[ (A + B)x + (A - B) = 4x + 3 \]

Теперь мы можем составить систему уравнений, сравнив коэффициенты:

1. \(A + B = 4\)
2. \(A - B = 3\)

Решим эту систему. Сложим оба уравнения:

\[ (A + B) + (A - B) = 4 + 3 \implies 2A = 7 \implies A = \frac{7}{2} \]

Теперь найдем \(B\), подставив \(A\) в первое уравнение:

\[ \frac{7}{2} + B = 4 \implies B = 4 - \frac{7}{2} = 4 - \frac{7}{2} = \frac{8}{2} - \frac{7}{2} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, мы нашли:

\[ A = \frac{7}{2}, \quad B = \frac{1}{2} \]

Теперь подставляем \(A\) и \(B\) обратно в дроби:

\[ \frac{4x + 3}{x^2} = \frac{7/2}{x - 1} + \frac{1/2}{x + 1} \]

Таким образом, дробь \(\frac{4x + 3}{x^2}\) представляется в виде:

\[ \frac{7/2}{x - 1} + \frac{1/2}{x + 1} \]

Это и есть искомый ответ.