(2:3)^8x+1=1,5^2x-3

Давайте решим уравнение \( (2:3)^{8x+1} = 1.5^{2x-3} \).

1. Приведем правую часть к общему основанию: Мы знаем, что \( 1.5 = \frac{3}{2} \), поэтому можно записать: \[ (2:3)^{8x+1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2x-3} \]

   Теперь у нас есть равенство между двумя показателями с основами \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{3}{2} \). Чтобы упростить наше уравнение, мы можем заметить, что \( \left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \). Это значит, что: \[ 1.5^{2x-3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-(2x-3)} \]

   Теперь запишем уравнение как: \[ (2:3)^{8x+1} = (2:3)^{-(2x-3)} \]

2. Приравняем показатели: Если основания равны, то можно приравнять показатели: \[ 8x + 1 = -(2x - 3) \]

   Раскроем скобки: \[ 8x + 1 = -2x + 3 \]

3. Соберем все \( x \) в одной части: Добавим \( 2x \) и вычтем 1 с обеих сторон: \[ 8x + 2x = 3 - 1 \] \[ 10x = 2 \]

4. Решим на \( x \): Разделим обе стороны на 10: \[ x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]

Таким образом, решение уравнения \( (2:3)^{8x+1} = 1.5^{2x-3} \) является \( x = \frac{1}{5} \).