Пока Паша коллекционировал монеты и собрал  18 18 штук, Миша коллекционировал банкноты и собрал  19 19 штук. Они решили устроить небольшую выставку, на которую Паша принесёт  14 14 монет, а Миша —  17 17 банкнот. Сколькими способами можно провести такую выставку?

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторный подход, так как нас интересует, сколько способов можно выбрать определенное количество монет и банкнот из общего количества.

Паша собрал 18 монет и выберет 14 из них. Количество способов, которыми он может это сделать, рассчитывается с помощью сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) — общее количество предметов, а \( k \) — количество выбираемых предметов. В нашем случае \( n = 18 \) и \( k = 14 \).

Количество способов выбрать 14 монет из 18 будет:

\[ C(18, 14) = \frac{18!}{14!(18-14)!} = \frac{18!}{14! \cdot 4!} \]

Теперь можно упростить это выражение:

\[ C(18, 14) = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{73440}{24} = 3060 \]

Теперь давайте рассчитаем количество способов выбора 17 банкнот из 19, используя ту же формулу. Здесь \( n = 19 \) и \( k = 17 \):

\[ C(19, 17) = \frac{19!}{17!(19-17)!} = \frac{19!}{17! \cdot 2!} \]

По аналогии, это упрощается до:

\[ C(19, 17) = \frac{19 \times 18}{2 \times 1} = \frac{342}{2} = 171 \]

Теперь, чтобы найти общее количество способов провести выставку, необходимо умножить количество способов выбора монет на количество способов выбора банкнот:

\[ Общее количество способов = C(18, 14) \times C(19, 17) = 3060 \times 171 \]

Теперь вычислим это произведение:

\[ 3060 \times 171 = 522060 \]

Таким образом, всего можно провести выставку 522060 способами.