В прямоугольнике с вершинами A(−4;−4), B(−4;6), C(8;6), D(8;−4) выбрали случайную точку X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами y≥x и y≥1

Чтобы решить задачу, начнем с определения области, описываемой прямоугольником и неравенствами.

1. Прямоугольник имеет вершины:

   • A(−4;−4)
   • B(−4;6)
   • C(8;6)
   • D(8;−4)

   Это означает, что:

   • Левая граница: x = −4
   • Правая граница: x = 8
   • Нижняя граница: y = −4
   • Верхняя граница: y = 6

   Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле: \[ Площадь = (ширина) \times (высота) = (8 - (-4)) \times (6 - (-4)) = 12 \times 10 = 120 \]

2. Теперь рассмотрим неравенства:

   • \( y \geq x \)
   • \( y \geq 1 \)

   Для изучения этих неравенств, давайте проанализируем их графически.

   • Линия \( y = x \) проходит через начало координат и имеет наклон 1. Это значит, что все точки выше этой линии соответствуют \( y \geq x \).
   • Линия \( y = 1 \) параллельна оси x и пересекает ось y в (0,1).

3. Найдем пересечения этих линий с границами прямоугольника.

   Для \( y = x \):

   • При \( x = -4 \): \( y = -4 \) (точка A)
   • При \( x = 6 \): \( y = 6 \) (точка B)
   • При \( y = 6 \): \( x = 6 \)
   • При \( y = -4 \): \( x = -4 \)

   Для \( y = 1 \):

   • При \( x = -4 \): \( y = 1 \) (точка на вертикальной границе)
   • При \( x = 8 \): \( y = 1 \) (точка на вертикальной границе)
   • При \( y = 1 \): \( x = 1 \)

4. Теперь построим область, ограничиваемую неравенствами.

   Из рисования графиков видно, что нам нужно найти область, где \( y \geq 1 \) и выше линии \( y = x \).

   • Область, удовлетворяющая условиям, будет ограничена верхней линией \( y = 6 \), нижней линией \( y = 1 \), и отрезком, ограниченным линией \( y = x \).

5. Чтобы найти площадь области, которая удовлетворяет \( y \geq x \) и \( y \geq 1 \):

   • Найдем точки пересечения линии \( y = x \) с линией \( y = 1 \): \[ x = 1 \] Это точка (1, 1).

   • Теперь мы можем определить область, создаваемую точками (1, 1), (8, 1), (8, 6) и (1, 6).

6. Площадь этой области, ограниченной описанным многоугольником: \[ Площадь = (ширина) \times (высота) = (8 - 1) \times (6 - 1) = 7 \times 5 = 35 \]

7. Теперь можем найти вероятность: \[ Вероятность = \frac{Площадь интересующей области}{Площадь прямоугольника} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24} \]

Таким образом, вероятность того, что координаты случайной точки \( X(x;y) \) принадлежат заданной области, равна \( \frac{7}{24} \).