5. Найдите значение выражения: a) (25 ^ 6 * 125 ^ 2)/(5 ^ 17) 6) (12 ^ 4)/(2 ^ 6 * 6 ^ 3) 6. Упростите выражение: a) (- (- x ^ 6) ^ 5) ^ 3 6) (- 2x ^ n * y) ^ 5 * (x ^ 2 * y ^ n) ^ 2 n \in Z n > 0 7. Укажите все натуральные значения переменных ти п, при ко- торых степень одночлена (- 5/9) ^ 3 * x ^ m * y ^ (2n + 1) равна 4. 8. При каких значениях х верно равенство: a) (- 7) ^ (5x - 2) = 1 6) (- 7) ^ (|x| - 2) = - 7 9. Докажите, что при любом n \in N равенство 8 ^ (2n) + 4 ^ (3n) = 2 ^ (6n + 1) HB- ляется тождеством.

Question 1

Задача Задача №2104663

А

Аноним

05 ноября 2024 17:35 · публичный вопрос

А

Аноним 05 ноября 2024 17:35

5. Найдите значение выражения: a) (25 ^ 6 * 125 ^ 2)/(5 ^ 17) 6) (12 ^ 4)/(2 ^ 6 * 6 ^ 3) 6. Упростите выражение: a) (- (- x ^ 6) ^ 5) ^ 3 6) (- 2x ^ n * y) ^ 5 * (x ^ 2 * y ^ n) ^ 2 n \in Z n > 0 7. Укажите все натуральные значения переменных ти п, при ко- торых степень одночлена (- 5/9) ^ 3 * x ^ m * y ^ (2n + 1) равна 4. 8. При каких значениях х верно равенство: a) (- 7) ^ (5x - 2) = 1 6) (- 7) ^ (|x| - 2) = - 7 9. Докажите, что при любом n \in N равенство 8 ^ (2n) + 4 ^ (3n) = 2 ^ (6n + 1) HB- ляется тождеством.

Answer

Конечно! Давайте по порядку разберём каждое из ваших выражений.

1. Найдите значение выражения:

a) \((25 ^ 6 * 125 ^ 2)/(5 ^ 17)\)

Сначала преобразим основание:

\(25 = 5^2\), следовательно, \(25^6 = (5^2)^6 = 5^{12}\).
\(125 = 5^3\), следовательно, \(125^2 = (5^3)^2 = 5^6\).

Теперь подставим это в выражение: \[ \frac{25^6 \cdot 125^2}{5^{17}} = \frac{5^{12} \cdot 5^6}{5^{17}} = \frac{5^{18}}{5^{17}} = 5^{18-17} = 5^1 = 5. \]

Ответ: 5.

2. Найдите значение выражения:

6) \(\frac{12^4}{2^6 \cdot 6^3}\)

Сначала преобразим \(12\) и \(6\):

\(12 = 2^2 \cdot 3\), поэтому \(12^4 = (2^2 \cdot 3)^4 = 2^8 \cdot 3^4\).
\(6 = 2 \cdot 3\), поэтому \(6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3\).

Теперь подставим это в выражение: \[ \frac{12^4}{2^6 \cdot 6^3} = \frac{2^8 \cdot 3^4}{2^6 \cdot (2^3 \cdot 3^3)} = \frac{2^8 \cdot 3^4}{2^{6+3} \cdot 3^3} = \frac{2^8 \cdot 3^4}{2^9 \cdot 3^3} = \frac{2^{8-9} \cdot 3^{4-3}}{1} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{3}{2}. \]

Ответ: \(\frac{3}{2}\).

3. Упростите выражение:

a) \((- (- x ^ 6) ^ 5) ^ 3\)

Сначала упростим внутреннее выражение: \[ (- x^6)^5 = -x^{30}. \] Теперь подставляем это обратно: \[ - (- x^6) ^ 5 = x^{30}, \] поэтому \[ (-x^{30})^3 = -x^{90}. \]

Ответ: \(-x^{90}\).

4. Упростите выражение:

6) \((- 2x ^ n * y) ^ 5 * (x ^ 2 * y ^ n) ^ {2n}\)

Сначала раскроем каждую часть: \[ (- 2x ^ n * y) ^ 5 = (-2)^5 (x^n)^5 (y)^5 = -32 x^{5n} y^5, \] \[ (x ^ 2 * y ^ n) ^ {2n} = (x^2)^{2n} (y^n)^{2n} = x^{4n} y^{2n}. \]

Теперь умножим эти два выражения: \[ -32 x^{5n} y^5 * x^{4n} y^{2n} = -32 x^{5n + 4n} y^{5 + 2n} = -32 x^{9n} y^{5 + 2n}. \]

Ответ: \(-32 x^{9n} y^{5 + 2n}\).

5. Укажите все натуральные значения переменных \(p\), при которых степень одночлена \((- \frac{5}{9})^3 * x^m * y^{(2n + 1)}\) равна 4.

Коэффициент степени — это произведение степеней переменных. Нам нужно, чтобы: \[ m + (2n + 1) = 4. \]

Решим это уравнение. Отсюда получаем: \[ m + 2n + 1 = 4 \Rightarrow m + 2n = 3. \]

Чтобы \(m\) и \(n\) были натуральными (то есть \(m, n \in \mathbb{N}\)), проверим возможные значения:

Если \(n = 1\), тогда \(m + 2 = 3 \Rightarrow m = 1\).
Если \(n = 0\), тогда \(m = 3\).

Таким образом, подходящие натуральные пары \((m, n)\) будут:

\(m = 1, n = 1\),
\(m = 3, n = 0\) (Но \(n=0\) не натуральное).

Ответ: \(m = 1, n = 1\) — это единственная пара натуральных чисел.

6. При каких значениях \(x\) верно равенство:

a) \((- 7) ^ {5x - 2} = 1\)

Значение степени равно 1, если: \[ 5x - 2 = 0 \Rightarrow 5x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{5}. \]

Ответ: \(x = \frac{2}{5}\).

6) \((- 7) ^ {|x| - 2} = - 7\)

Здесь \(-7\) получаем из степени: \[ |x| - 2 = 1 \Rightarrow |x| = 3. \] Это означает, что \(x = 3\) или \(x = -3\).

Ответ: \(x = 3\) или \(x = -3\).

7. Докажите, что при любом \(n \in \mathbb{N}\) равенство \(8 ^ {(2n)} + 4 ^ {(3n)} = 2 ^ {(6n + 1)}\) является тождеством.

Сначала преобразуем все основания в двойки:

\(8 = 2^3\), следовательно, \(8^{2n} = (2^3)^{2n} = 2^{6n}\).
\(4 = 2^2\), следовательно, \(4^{3n} = (2^2)^{3n} = 2^{6n}\).

Теперь подставим это: \[ 8^{2n} + 4^{3n} = 2^{6n} + 2^{6n} = 2 \cdot 2^{6n} = 2^{6n + 1}. \]

Это завершает доказательство:

Ответ: \(8^{2n} + 4^{3n} = 2^{6n + 1}\) является тождеством.

Если есть дополнительные вопросы по материалу, смело спрашивайте!

Question 2

5. Найдите значение выражения: a) (25 ^ 6 * 125 ^ 2)/(5 ^ 17) 6) (12 ^ 4)/(2 ^ 6 * 6 ^ 3) 6. Упростите выражение: a) (- (- x ^ 6) ^ 5) ^ 3 6) (- 2x ^ n * y) ^ 5 * (x ^ 2 * y ^ n) ^ 2 n \in Z n > 0 7. Укажите все натуральные значения переменных ти п, при ко- торых степень одночлена (- 5/9) ^ 3 * x ^ m * y ^ (2n + 1) равна 4. 8. При каких значениях х верно равенство: a) (- 7) ^ (5x - 2) = 1 6) (- 7) ^ (|x| - 2) = - 7 9. Докажите, что при любом n \in N равенство 8 ^ (2n) + 4 ^ (3n) = 2 ^ (6n + 1) HB- ляется тождеством.

Answer

Конечно! Давайте по порядку разберём каждое из ваших выражений. ### 1. Найдите значение выражения: **a)** \((25 ^ 6 * 125 ^ 2)/(5 ^ 17)\) Сначала преобразим основание: - \(25 = 5^2\), следовательно, \(25^6 = (5^2)^6 = 5^{12}\). - \(125 = 5^3\), следовательно, \(125^2 = (5^3)^2 = 5^6\). Теперь подставим это в выражение: \[ \frac{25^6 \cdot 125^2}{5^{17}} = \frac{5^{12} \cdot 5^6}{5^{17}} = \frac{5^{18}}{5^{17}} = 5^{18-17} = 5^1 = 5. \] **Ответ:** 5. --- ### 2. Найдите значение выражения: **6)** \(\frac{12^4}{2^6 \cdot 6^3}\) Сначала преобразим \(12\) и \(6\): - \(12 = 2^2 \cdot 3\), поэтому \(12^4 = (2^2 \cdot 3)^4 = 2^8 \cdot 3^4\). - \(6 = 2 \cdot 3\), поэтому \(6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3\). Теперь подставим это в выражение: \[ \frac{12^4}{2^6 \cdot 6^3} = \frac{2^8 \cdot 3^4}{2^6 \cdot (2^3 \cdot 3^3)} = \frac{2^8 \cdot 3^4}{2^{6+3} \cdot 3^3} = \frac{2^8 \cdot 3^4}{2^9 \cdot 3^3} = \frac{2^{8-9} \cdot 3^{4-3}}{1} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{3}{2}. \] **Ответ:** \(\frac{3}{2}\). --- ### 3. Упростите выражение: **a)** \((- (- x ^ 6) ^ 5) ^ 3\) Сначала упростим внутреннее выражение: \[ (- x^6)^5 = -x^{30}. \] Теперь подставляем это обратно: \[ - (- x^6) ^ 5 = x^{30}, \] поэтому \[ (-x^{30})^3 = -x^{90}. \] **Ответ:** \(-x^{90}\). --- ### 4. Упростите выражение: **6)** \((- 2x ^ n * y) ^ 5 * (x ^ 2 * y ^ n) ^ {2n}\) Сначала раскроем каждую часть: \[ (- 2x ^ n * y) ^ 5 = (-2)^5 (x^n)^5 (y)^5 = -32 x^{5n} y^5, \] \[ (x ^ 2 * y ^ n) ^ {2n} = (x^2)^{2n} (y^n)^{2n} = x^{4n} y^{2n}. \] Теперь умножим эти два выражения: \[ -32 x^{5n} y^5 * x^{4n} y^{2n} = -32 x^{5n + 4n} y^{5 + 2n} = -32 x^{9n} y^{5 + 2n}. \] **Ответ:** \(-32 x^{9n} y^{5 + 2n}\). --- ### 5. Укажите все натуральные значения переменных \(p\), при которых степень одночлена \((- \frac{5}{9})^3 * x^m * y^{(2n + 1)}\) равна 4. Коэффициент степени — это произведение степеней переменных. Нам нужно, чтобы: \[ m + (2n + 1) = 4. \] Решим это уравнение. Отсюда получаем: \[ m + 2n + 1 = 4 \Rightarrow m + 2n = 3. \] Чтобы \(m\) и \(n\) были натуральными (то есть \(m, n \in \mathbb{N}\)), проверим возможные значения: - Если \(n = 1\), тогда \(m + 2 = 3 \Rightarrow m = 1\). - Если \(n = 0\), тогда \(m = 3\). Таким образом, подходящие натуральные пары \((m, n)\) будут: - \(m = 1, n = 1\), - \(m = 3, n = 0\) (Но \(n=0\) не натуральное). **Ответ:** \(m = 1, n = 1\) — это единственная пара натуральных чисел. --- ### 6. При каких значениях \(x\) верно равенство: **a)** \((- 7) ^ {5x - 2} = 1\) Значение степени равно 1, если: \[ 5x - 2 = 0 \Rightarrow 5x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{5}. \] **Ответ:** \(x = \frac{2}{5}\). **6)** \((- 7) ^ {|x| - 2} = - 7\) Здесь \(-7\) получаем из степени: \[ |x| - 2 = 1 \Rightarrow |x| = 3. \] Это означает, что \(x = 3\) или \(x = -3\). **Ответ:** \(x = 3\) или \(x = -3\). --- ### 7. Докажите, что при любом \(n \in \mathbb{N}\) равенство \(8 ^ {(2n)} + 4 ^ {(3n)} = 2 ^ {(6n + 1)}\) является тождеством. Сначала преобразуем все основания в двойки: - \(8 = 2^3\), следовательно, \(8^{2n} = (2^3)^{2n} = 2^{6n}\). - \(4 = 2^2\), следовательно, \(4^{3n} = (2^2)^{3n} = 2^{6n}\). Теперь подставим это: \[ 8^{2n} + 4^{3n} = 2^{6n} + 2^{6n} = 2 \cdot 2^{6n} = 2^{6n + 1}. \] Это завершает доказательство: **Ответ:** \(8^{2n} + 4^{3n} = 2^{6n + 1}\) является тождеством. Если есть дополнительные вопросы по материалу, смело спрашивайте!