Средняя линия трапеции равна 17. Одна из диагоналей делит её на два отрезка, разность которых равна 5. Найдите меньшее основание трапеции.
Обозначим основания трапеции как \( a \) (меньшее основание) и \( b \) (большее основание). Средняя линия трапеции равна 17, поэтому:
\[ \frac{a + b}{2} = 17 \]
Отсюда получаем:
\[ a + b = 34 \]
Также известно, что одна из диагоналей делит трапецию на два отрезка, разность которых равна 5. Обозначим эти отрезки как \( x \) и \( y \), где \( x > y \). Тогда:
\[ x - y = 5 \]
Существует также связь между отрезками \( x \) и \( y \) в терминах оснований трапеции:
\[ x = \frac{b - a}{2} + 17 \] \[ y = \frac{a - b}{2} + 17 \]
Теперь решим систему уравнений.
Подставим \( x \) и \( y \) в уравнение разности:
\[ \left(\frac{b - a}{2} + 17\right) - \left(\frac{a - b}{2} + 17\right) = 5 \]
Упрощаем:
\[ \frac{b - a - (a - b)}{2} = 5 \]
\[ \frac{2(b - a)}{2} = 5 \]
\[ b - a = 5 \]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( a + b = 34 \)
- \( b - a = 5 \)
Решим их. Сначала выразим \( b \) из второго уравнения:
\[ b = a + 5 \]
Подставим это значение в первое уравнение:
\[ a + (a + 5) = 34 \] \[ 2a + 5 = 34 \] \[ 2a = 29 \] \[ a = \frac{29}{2} = 14.5 \]
Теперь найдем \( b \):
\[ b = a + 5 = 14.5 + 5 = 19.5 \]
Таким образом, меньшее основание трапеции \( a \) равно \( 14.5 \).
