Сколько существует треугольников у которых вершины являются вершинами данного выпуклого 8-угольника но стороны не совпадают со сторонами этого восьмиугольника
Чтобы узнать, сколько существует треугольников, которые можно построить из вершин выпуклого восьмиугольника, не используя его стороны, сначала нам нужно обратить внимание на то, как мы можем выбрать вершины.
Количество вершин: У нас есть 8 вершин, обозначим их A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8.
Выбор вершин для треугольника: Мы можем выбрать любые 3 вершины из этих 8, что можно сделать с помощью комбинаций. Формула для вычисления количества сочетаний (комбинаций) из n по k выглядит так: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В нашем случае \( n = 8 \) и \( k = 3 \): \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \]
Исключение треугольников со сторонами восьмиугольника: Теперь нужно вычесть те треугольники, у которых хотя бы одна сторона совпадает со стороной восьмиугольника. Для этого рассмотрим все стороны восьмиугольника:
- Каждая сторона соединяет две соседние вершины, например, A1A2, A2A3 и так далее до A8A1.
Если одна сторона треугольника совпадает со стороной восьмиугольника, то остаётся выбрать одну вершину, которая не будет совпадать с этими двумя. Мы можем выбрать одну вершину из оставшихся 6 (поскольку 2 уже выбраны). То есть для каждой стороны (всего 8 сторон) у нас будет по 6 вариантов выбора третьей вершины.
Таким образом, количество треугольников с одной стороной на восьмиугольнике: \[ 8 \cdot 6 = 48 \]
Треугольники с двумя сторонами, совпадающими со сторонами восьмиугольника: Это треугольники, состоящие из двух соседних вершин и одной из них, которая соединяет их с другой неприлегающей вершиной. Всего у нас 8 таких треугольников, поскольку одна треугольная комбинация соответствует каждой стороне.
Теперь применяем принцип включений и исключений: Общее количество треугольников, где хотя бы одна сторона совпадает с стороной восьмиугольника: \[ 48 - 8 = 40 \]
Итак, количество треугольников, которые мы можем построить, не используя стороны восьмиугольника: \[ 56 - 40 = 16 \]
Таким образом, существует 16 треугольников, у которых вершины являются вершинами данного выпуклого восьмиугольника, но стороны не совпадают со сторонами этого восьмиугольника.
