Тело массой m брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v0, поднялось на максимальную высоту H. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, чему равна полная механическая энергия на высоте h < H.

Для определения полной механической энергии тела на высоте \( h \) (где \( h < H \)), необходимо учесть как потенциальную, так и кинетическую энергию тела.

Полная механическая энергия \( E \) в любом состоянии, когда мы пренебрегаем воздействием сопротивления воздуха, сохраняется и равна сумме потенциальной и кинетической энергии:

\[ E = K + U, \] где:

• \( K \) — кинетическая энергия,
• \( U \) — потенциальная энергия.

На высоте \( h \):

1. Потенциальная энергия \( U \) определяется как: \[ U = mgh, \] где \( g \) — ускорение свободного падения.

2. Кинетическая энергия \( K \) тела на высоте \( h \) может быть определена через начальную скорость \( v_0 \) и высоту \( H \). При движении вверх скорость тела уменьшается, и можно использовать закон сохранения энергии. Полная энергия в начальный момент времени (высота \( 0 \)) будет равна: \[ E_0 = K_0 + U_0 = \frac{1}{2} mv_0^2 + 0 = \frac{1}{2} mv_0^2. \] На высоте \( h \) эта энергия сохраняется, тогда: \[ E = K_h + U_h = \frac{1}{2} mv_h^2 + mgh, \] где \( v_h \) — скорость тела на высоте \( h \).

Из закона сохранения энергий можно записать: \[ \frac{1}{2} mv_0^2 = \frac{1}{2} mv_h^2 + mgh. \]

Полная механическая энергия тела на высоте \( h \) остается постоянной и равной первоначальной энергии: \[ E = \frac{1}{2} mv_0^2. \]

Таким образом, полная механическая энергия на высоте \( h < H \) равна: \[ E = \frac{1}{2} mv_0^2. \]

Эта величина не зависит от высоты \( h \) и сохраняется на каждом этапе движения тела вверх или вниз.