В команде лыжников, прибывавшей на соревнования, 15 человек. Тренер должен выделить из них четверых для участия в эстафете. Сколькими способами он может это сделать, если Игорь должен учавствовать в эстафете обязательно, а Фёдор и Николай ещё не готовы к участию в эстафете

Чтобы решить эту задачу, сначала уясним условия. У нас есть 15 лыжников, из которых тренер должен выбрать 4 для участия в эстафете. Из условия известно, что Игорь должен участвовать в эстафете, а Фёдор и Николай не готовы к участию.

Таким образом, мы можем считать, что Игорь уже выбран, и нам нужно выбрать ещё 3 участника из оставшихся лыжников. Поскольку Фёдор и Николай не могут участвовать, нам остаются 15 - 1 (Игорь) - 2 (Фёдор и Николай) = 12 лыжников.

Теперь нам нужно выбрать 3 лыжников из 12. Для этого воспользуемся формулой для сочетаний, которая выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) — общее количество объектов, \( k \) — количество выбираемых объектов, и \( ! \) — факториал.

В нашем случае \( n = 12 \) (оставшиеся лыжники) и \( k = 3 \) (мы выбираем 3).

Подставляем значения в формулу:

\[ C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} \]

Теперь можем упростить:

\[ C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220 \]

Таким образом, тренер может выбрать 4 лыжников для участия в эстафете 220 способами.