Решите уравнение x2 - 6|x| + 8 = 0. Запишите количество корней данного уравнения. Найдите сумму всех корней
Решим уравнение \(x^2 - 6|x| + 8 = 0\). Поскольку у нас присутствует модуль, рассмотрим два случая: когда \(x \geq 0\) и \(x < 0\).
Случай 1: \(x \geq 0\)
В этом случае \(|x| = x\). Уравнение переходит в:
\[
x^2 - 6x + 8 = 0.
\]
Теперь найдем дискриминант:
\[
D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4.
\]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 2}{2} = \{4, 2\}.
\]
Случай 2: \(x < 0\)
Здесь \(|x| = -x\), и уравнение принимает вид:
\[
x^2 + 6x + 8 = 0.
\]
Также найдем дискриминант:
\[
D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4.
\]
Корни уравнения:
\[
x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{-6 \pm 2}{2} = \{-2, -4\}.
\]
Итак, у нас есть 4 корня:
- \(x = 2\) (первый случай)
- \(x = 4\) (первый случай)
- \(x = -2\) (второй случай)
- \(x = -4\) (второй случай)
Количество корней: 4.
Теперь найдем сумму всех корней: \[ 2 + 4 - 2 - 4 = 0. \]
Таким образом, ответы:
- Количество корней: 4.
- Сумма всех корней: 0.
