Решите уравнение x^3 + 7х^2 - 4х - 28 = 0. Сколько корней имеет данное уравнение?
Чтобы определить количество корней уравнения \( x^3 + 7x^2 - 4x - 28 = 0 \), воспользуемся теорией.
Сначала найдем производную функции \( f(x) = x^3 + 7x^2 - 4x - 28 \):
\[ f'(x) = 3x^2 + 14x - 4 \]
Теперь найдем критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ 3x^2 + 14x - 4 = 0 \]
Применим формулу для решения квадратных уравнений:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 3 \), \( b = 14 \), и \( c = -4 \).
Подставляя значения, получаем:
\[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 48}}{6} = \frac{-14 \pm \sqrt{244}}{6} \]
\[ \sqrt{244} = \sqrt{4 \cdot 61} = 2\sqrt{61} \]
Тогда:
\[ x = \frac{-14 \pm 2\sqrt{61}}{6} = \frac{-7 \pm \sqrt{61}}{3} \]
Эти два значения представляют собой два критических пункта. Теперь найдем значение производной в этих точках, чтобы выяснить, есть ли знаки изменения:
- \( f'( \frac{-7 - \sqrt{61}}{3} ) \)
- \( f'( \frac{-7 + \sqrt{61}}{3} ) \)
Производная является квадратичной функцией \( 3x^2 + 14x - 4 \), и её знак меняется на интервалах между корнями. Поскольку у кубической функции максимальное количество корней не может превышать 3, то по промежуткам между критическими точками можно определить знаки.
Далее можем также подставить крайние и промежуточные значения в функцию \( f(x) \), чтобы оценить, меняет ли она знак:
- Подставим, например, \( x = -10 \), \( f(-10) = -1000 + 700 + 40 - 28 = -288 \)
- \( x = -5 \), \( f(-5) = -125 + 175 + 20 - 28 = 42 \)
- \( x = 0 \), \( f(0) = -28 \)
- \( x = 3 \), \( f(3) = 27 + 63 - 12 - 28 = 50 \)
На основании этих значений видим, что функция меняет знак от отрицательного к положительному и наоборот, что указывает на наличие корней.
Учитывая, что корни могут быть расположены при изменении знаков и максимальное количество корней (по теореме о корнях), уравнение имеет 3 корня.
Таким образом, уравнение \( x^3 + 7x^2 - 4x - 28 = 0 \) имеет 3 корня.
