Даны квадрат и прямоугольник. Сторона квадрата на 6 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 4 см больше другой его стороны. Известно, что сумма площадей фигур 36 см? Найдите площадь квадрата и прямоугольника

Обозначим сторону квадрата как \( x \) см. Согласно условиям задачи, одна сторона прямоугольника равна \( x + 6 \) см, а другая сторона равна \( x - 4 \) см.

Площадь квадрата \( S_{к} \) будет: \[ S_{к} = x^2 \]

Площадь прямоугольника \( S_{пр} \) будет: \[ S_{пр} = (x + 6)(x - 4) \]

Согласно условию задачи, сумма площадей равна 36 см²: \[ x^2 + (x + 6)(x - 4) = 36 \]

Распишем площадь прямоугольника: \[ (x + 6)(x - 4) = x^2 - 4x + 6x - 24 = x^2 + 2x - 24 \]

Теперь подставим это выражение в уравнение: \[ x^2 + x^2 + 2x - 24 = 36 \]

Соберем подобные слагаемые: \[ 2x^2 + 2x - 24 = 36 \]

Переносим 36 на левую сторону: \[ 2x^2 + 2x - 60 = 0 \]

Упростим уравнение, поделив все его coefficients на 2: \[ x^2 + x - 30 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \]

Находим корни уравнения: \[ x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 11}{2} \] \[ x_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{-12}{2} = -6 \]

Поскольку сторона квадрата не может быть отрицательной, принимаем \( x = 5 \) см.

Теперь найдем площади фигур. Площадь квадрата: \[ S_{к} = 5^2 = 25 \text{ см}^2 \]

Находим стороны прямоугольника: \[ \text{Одна сторона} = x + 6 = 5 + 6 = 11 \text{ см} \] \[ \text{Другая сторона} = x - 4 = 5 - 4 = 1 \text{ см} \]

Площадь прямоугольника: \[ S_{пр} = 11 \cdot 1 = 11 \text{ см}^2 \]

Итак, площади фигур:

• Площадь квадрата: \( 25 \text{ см}^2 \)
• Площадь прямоугольника: \( 11 \text{ см}^2 \)