решить целое уравнение через дискриминант и найти его корни: (х² - 5х)(х²-5х-110)+24=0
Для решения уравнения \((x² - 5x)(x² - 5x - 110) + 24 = 0\) через дискриминант, начнем с упрощения.
Сначала обозначим \(y = x² - 5x\). Таким образом, уравнение переписывается как:
\[ (y)(y - 110) + 24 = 0 \]
Упростим это:
\[ y^2 - 110y + 24 = 0 \]
Теперь мы можем использовать формулу для дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 1\), \(b = -110\), и \(c = 24\).
Посчитаем дискриминант:
\[ D = (-110)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 12100 - 96 = 12004 \]
Теперь, когда мы знаем дискриминант, можем найти корни уравнения с помощью формулы:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ y_{1,2} = \frac{110 \pm \sqrt{12004}}{2} \]
Сначала calculating \(\sqrt{12004}\). Примерное значение равно 109.57. Теперь подставим это в формулу:
\[ y_1 = \frac{110 + 109.57}{2} \approx \frac{219.57}{2} \approx 109.785 \] \[ y_2 = \frac{110 - 109.57}{2} \approx \frac{0.43}{2} \approx 0.215 \]
Теперь мы нашли два значения для \(y\):
- \(y_1 \approx 109.785\)
- \(y_2 \approx 0.215\)
Теперь вспомним, что \(y = x² - 5x\). У нас есть два уравнения для каждого из найденных значений \(y\):
- \(x² - 5x - 109.785 = 0\)
- \(x² - 5x - 0.215 = 0\)
Для первого уравнения:
Дискриминант \(D_1 = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-109.785) = 25 + 439.14 = 464.14\).
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{464.14}}{2} \approx \frac{5 \pm 21.56}{2} \] \[ x_1 \approx \frac{26.56}{2} \approx 13.28, \quad x_2 \approx \frac{-16.56}{2} \approx -8.28 \]
Для второго уравнения:
Дискриминант \(D_2 = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0.215) = 25 + 0.86 = 25.86\).
Корни:
\[ x_{3,4} = \frac{5 \pm \sqrt{25.86}}{2} \approx \frac{5 \pm 5.09}{2} \] \[ x_3 \approx \frac{10.09}{2} \approx 5.045, \quad x_4 \approx \frac{-0.09}{2} \approx -0.045 \]
Таким образом, мы нашли все корни уравнения:
- \(x_1 \approx 13.28\)
- \(x_2 \approx -8.28\)
- \(x_3 \approx 5.045\)
- \(x_4 \approx -0.045\)
Если есть еще вопросы или нужна помощь с другим материалом, пишите!
