Задача 1: дана функция f: R—>R, f(x)= x²+2mx+m²–2m.Найдите дйествительные значения m, при которых f(1)=5 и абсцисса вершины параболы, являющиеся графиком функции f, есть положительное число. Задача 2: дана функция f: R–> R, f(x)= mx²+m²–4m–1. найдите действительные значения m, при которых x=2 является нулём функции f, а график функции f является параболой с ветвями направлеными вниз. Задача 3: Дана функция f: R–>R, f(x)= 4x²+4mx+m²+m. найдите действительные значения m, при которых вершина параболы является графиком функции f, расположена строго выше оми абсцисс. Задача 4: Дана функция f: R–>R, f(x)= mx²+2x+1≠0. найдите действительные значения m, при которых графиком функции f является параболой ветви которой направлены вверх, пересекающая ось абсцисс в двух различных точках.

Задача 1: Дана функция \( f(x) = x^2 + 2mx + m^2 - 2m \). Для того чтобы найти действительные значения \( m \), при которых \( f(1) = 5 \), подставим \( x = 1 \):

\[ f(1) = 1^2 + 2m \cdot 1 + m^2 - 2m = 1 + 2m + m^2 - 2m = m^2 - m + 1. \] Равно \( 5 \):

\[ m^2 - m + 1 = 5. \] Упрощаем уравнение:

\[ m^2 - m - 4 = 0. \]

Теперь применим формулу корней квадратного уравнения \( m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):

\[ m = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}. \]

Мы получаем два значения \( m_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \) и \( m_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \).

Теперь находим абсциссу вершины параболы. Вершина параболы функции \( f(x) \) располагается в точке \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2m}{2} = -m \). Мы ищем условия, когда это значение положительно:

\[ -m > 0 \Rightarrow m < 0. \]

Таким образом, действительное значение \( m \) должно одновременно удовлетворять \( m < 0 \) и быть одним из двух найденных корней.

Задача 2: Дана функция \( f(x) = mx^2 + m^2 - 4m - 1 \). Чтобы \( x = 2 \) был корнем функции, подставим \( x = 2 \):

\[ f(2) = m(2)^2 + m^2 - 4m - 1 = 4m + m^2 - 4m - 1 = m^2 - 1. \]

Для того чтобы \( f(2) = 0 \):

\[ m^2 - 1 = 0 \Rightarrow m^2 = 1 \Rightarrow m = 1 \text{ или } m = -1. \]

Теперь проверим условия для параболы. Мы хотим, чтобы ветви параболы направлялись вниз, что означает, что коэффициент при \( x^2 \) должен быть отрицательным:

\[ m < 0. \]

Таким образом, единственным действительным значением \( m \) является \( m = -1 \), так как только он соответствует условию направления ветвей.

Задача 3: Дана функция \( f(x) = 4x^2 + 4mx + m^2 + m \). Вершина параболы находится в точке:

\[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4m}{2 \cdot 4} = -\frac{m}{2}. \]

Для того чтобы вершина находилась строго выше оси абсцисс, подставим это в функцию:

\[ f\left(-\frac{m}{2}\right) = 4\left(-\frac{m}{2}\right)^2 + 4m\left(-\frac{m}{2}\right) + m^2 + m. \] Вычислим:

\[ = 4 \cdot \frac{m^2}{4} - 2m^2 + m^2 + m = m^2 - 2m^2 + m^2 + m = m. \]

Для того чтобы функция была выше нуля:

\[ m > 0. \]

Таким образом, действительное значение \( m \) должно быть положительно.

Задача 4: Дана функция \( f(x) = mx^2 + 2x + 1 \). Чтобы парабола пересекала ось абсцисс в двух разных точках, дискриминант должен быть положительным:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot m \cdot 1 = 4 - 4m > 0. \]

Это неравенство дает:

\[ 4 > 4m \Rightarrow 1 > m. \]

Также для того чтобы график функции был направлен вверх, необходимо, чтобы \( m > 0 \).

Таким образом, действительные значения \( m \) удовлетворяют условию:

\[ 0 < m < 1. \]

Это и есть искомые значения для каждой задачи. Если будут дополнительные вопросы по этим задачам или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!