Отрезок ВВ, — медиана треугольника АВС. Выразите векторы В,С, ВВ,, ВА, ВС через х = АВ, и ỷ = АВ.
В треугольнике \( ABC \) медиана \( BB \) соединяет вершину \( B \) с серединой стороны \( AC \). Обозначим точки:
- \( A \) как \( \vec{A} \)
- \( B \) как \( \vec{B} \)
- \( C \) как \( \vec{C} \)
Пусть \( D \) — середина отрезка \( AC \). Тогда:
\[ \vec{D} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \]
Теперь выразим векторы \( \vec{B} \), \( \vec{C} \), \( \vec{BB} \), \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \) через \( x = \vec{AB} \) и \( y = \vec{AC} \).
Вектор \( \vec{B} \) можно выразить через \( \vec{A} \) и \( x \):
\[ \vec{B} = \vec{A} + \vec{AB} = \vec{A} + \vec{x} \]
Вектор \( \vec{C} \) можно выразить через \( \vec{A} \) и \( y \):
\[ \vec{C} = \vec{A} + \vec{AC} = \vec{A} + \vec{y} \]
Теперь найдем вектор медианы \( \vec{BB} \):
\[ \vec{BB} = \vec{D} - \vec{B} = \left(\frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}\right) - \vec{B} = \left(\frac{\vec{A} + (\vec{A} + \vec{y})}{2}\right) - (\vec{A} + \vec{x}) \]
Упростим:
\[ \vec{BB} = \left(\frac{2\vec{A} + \vec{y}}{2}\right) - (\vec{A} + \vec{x}) = \frac{2\vec{A} + \vec{y} - 2\vec{A} - 2\vec{x}}{2} = \frac{\vec{y} - 2\vec{x}}{2} \]
Затем выразим вектор \( \vec{BA} \):
\[ \vec{BA} = \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} - (\vec{A} + \vec{x}) = -\vec{x} \]
И вектор \( \vec{BC} \):
\[ \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (\vec{A} + \vec{y}) - (\vec{A} + \vec{x}) = \vec{y} - \vec{x} \]
Таким образом, мы можем выразить векторы \( \vec{B} \), \( \vec{C} \), \( \vec{BB} \), \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \) через \( x \) и \( y \):
- \( \vec{B} = \vec{A} + \vec{x} \)
- \( \vec{C} = \vec{A} + \vec{y} \)
- \( \vec{BB} = \frac{\vec{y} - 2\vec{x}}{2} \)
- \( \vec{BA} = -\vec{x} \)
- \( \vec{BC} = \vec{y} - \vec{x} \)
