X•(x+6)<0

Чтобы решить неравенство \( x \cdot (x + 6) < 0 \), давайте разберем его шаг за шагом.

1. Найдите корни уравнения: Сначала мы приравняем левую часть неравенства к нулю, чтобы найти критические точки. \[ x \cdot (x + 6) = 0 \] Это уравнение будет равно нулю при \( x = 0 \) и \( x + 6 = 0 \), что дает \( x = -6 \). Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = -6 \) и \( x = 0 \).

2. Разделите числовую прямую: Теперь, зная кривые точки, мы можем разбить числовую прямую на три интервала:

   • \( (-\infty, -6) \)
   • \( (-6, 0) \)
   • \( (0, \infty) \)

3. Определите знак функции в каждом интервале: Теперь нужно проверить знак произведения \( x \cdot (x + 6) \) в каждом из этих интервалов.

   • Интервал \( (-\infty, -6) \): Пусть \( x = -7 \): \[ -7 \cdot (-7 + 6) = -7 \cdot (-1) = 7 \quad (> 0) \]

   • Интервал \( (-6, 0) \): Пусть \( x = -1 \): \[ -1 \cdot (-1 + 6) = -1 \cdot 5 = -5 \quad (< 0) \]

   • Интервал \( (0, \infty) \): Пусть \( x = 1 \): \[ 1 \cdot (1 + 6) = 1 \cdot 7 = 7 \quad (> 0) \]

4. Соберите результаты: Мы видим, что знак выражения:

   • Положителен на интервале \( (-\infty, -6) \)
   • Отрицателен на интервале \( (-6, 0) \)
   • Положителен на интервале \( (0, \infty) \)

5. Запишите ответ: Учитывая, что нам нужно решить \( x \cdot (x + 6) < 0 \), подходит только интервал \( (-6, 0) \).

Таким образом, решение неравенства \( x \cdot (x + 6) < 0 \) — это: \[ (-6, 0) \]