Юра вышел из спортзала после тренировки и отправился в сторону магазина. Одновременно с Юрой из магазина в спортзал вышла его подруга Оля. В момент встречи Юре оставалось идти ещё 2 минуты, а Оле — ещё 18 минут. Найдите, через сколько минут после выхода встретились Юра и Оля, если всё время они шли с постоянной скоростью.
Чтобы решить задачу, введем обозначения:
- Пусть скорость Юры равна \( v_Y \) (мин/мин).
- Пусть скорость Оли равна \( v_O \) (мин/мин).
- Пусть время, за которое встретились Юра и Оля, равно \( t \) минут.
Юра должен был идти еще 2 минуты до магазина, значит, расстояние, которое ему надо было пройти, составляет \( 2v_Y \) (с учетом его скорости).
Оля должна была идти еще 18 минут до спортзала, значит, расстояние, которое ей надо было пройти, составляет \( 18v_O \).
Когда они встретились, они прошли одинаковое расстояние (все расстояние между ними), то есть:
\[ t \cdot v_Y + t \cdot v_O = 2v_Y = 18v_O \]
Из первого уравнения получаем: \[ t(v_Y + v_O) = 2v_Y \] Отсюда находим \( t \): \[ t = \frac{2v_Y}{v_Y + v_O} \]
Из второго уравнения: \[ t(v_Y + v_O) = 18v_O \] Отсюда находим \( t \): \[ t = \frac{18v_O}{v_Y + v_O} \]
Так как оба выражения равны \( t \), приравняем их: \[ \frac{2v_Y}{v_Y + v_O} = \frac{18v_O}{v_Y + v_O} \]
Теперь умножим обе стороны на \( v_Y + v_O \): \[ 2v_Y = 18v_O \]
Таким образом, мы можем сказать, что: \[ \frac{v_Y}{v_O} = \frac{18}{2} = 9 \implies v_Y = 9v_O \]
Теперь, подставив \( v_Y \) в одно из формул для \( t \): \[ t = \frac{2v_Y}{v_Y + v_O} = \frac{2(9v_O)}{9v_O + v_O} = \frac{18v_O}{10v_O} = \frac{18}{10} = 1.8 \text{ минут} \]
Таким образом, Юра и Оля встретились через \( 1.8 \) мин, что эквивалентно \( 1 \) минуте и \( 48 \) секундам.
