Юра вышел из спортзала после тренировки и отправился в сторону магазина. Одновременно с Юрой из магазина в спортзал вышла его подруга Оля. В момент встречи Юре оставалось идти ещё 2 минуты, а Оле — ещё 18 минут. Найдите, через сколько минут после выхода встретились Юра и Оля, если всё время они шли с постоянной скоростью.

Question 1

Задача Задача №2107865

А

Аноним

06 ноября 2024 00:45 · публичный вопрос

А

Аноним 06 ноября 2024 00:45

Юра вышел из спортзала после тренировки и отправился в сторону магазина. Одновременно с Юрой из магазина в спортзал вышла его подруга Оля. В момент встречи Юре оставалось идти ещё 2 минуты, а Оле — ещё 18 минут. Найдите, через сколько минут после выхода встретились Юра и Оля, если всё время они шли с постоянной скоростью.

Answer

Обозначим время, которое прошло с момента выхода Юры и Оли до их встречи, как \( t \) минут.

Пусть скорость Юры равна \( v_Y \), а скорость Оли — \( v_O \). Когда Юра и Оля встретились, у Юры оставалось идти ещё 2 минуты, то есть он прошёл за время \( t \) расстояние \( d_Y = v_Y \cdot t \).

Оля в момент встречи оставалось идти 18 минут, значит, она прошла за время \( t \) расстояние \( d_O = v_O \cdot t \), а потом ей ещё оставалось пройти 18 минут со своей скоростью: \[ d_O + v_O \cdot 18 = d_{total} \]

Поскольку оба они идут с постоянной скоростью, расстояние, которое прошёл Юра, и расстояние, которое прошла Оля, составляют одну и ту же величину \( d_{total} \): \[ d_Y + v_Y \cdot 2 = d_O + v_O \cdot 18 \]

Подставим выражения для расстояний через \( t \): \[ v_Y \cdot t + v_Y \cdot 2 = v_O \cdot t + v_O \cdot 18 \]

Соберём все члены с \( t \) в одну сторону: \[ v_Y \cdot t - v_O \cdot t = v_O \cdot 18 - v_Y \cdot 2 \]

Вынесем \( t \) за скобки: \[ (v_Y - v_O) \cdot t = v_O \cdot 18 - v_Y \cdot 2 \]

Отсюда выразим \( t \): \[ t = \frac{v_O \cdot 18 - v_Y \cdot 2}{v_Y - v_O} \]

Теперь заметим, что в момент, когда они встретились, Юра прошёл за это время путь, который он продолжит проходить после встречи (2 минуты), а Оля — путь, который она продолжит проходить (18 минут). Во время встречи скорости можно считать пропорциональными времени, которое осталась им пройти.

Так как Юра прошёл меньше, чем Оля, означает, что \[ t = k \cdot 2 \quad \text{и} \quad t = k \cdot 18 \] где \( k \) — отношение расстояний.

Сравнив \( 2k = 18k \): В данном случае оно определяет их встречу по времени \( t \) с теми значениями.

Таким образом, \[ \text{общее время} = t + 2 = 18 \] где \( t = 16 \).

Итак, Юра и Оля встретились через 16 минут после выхода.

Question 2

Юра вышел из спортзала после тренировки и отправился в сторону магазина. Одновременно с Юрой из магазина в спортзал вышла его подруга Оля. В момент встречи Юре оставалось идти ещё 2 минуты, а Оле — ещё 18 минут. Найдите, через сколько минут после выхода встретились Юра и Оля, если всё время они шли с постоянной скоростью.

Answer

Обозначим время, которое прошло с момента выхода Юры и Оли до их встречи, как \( t \) минут. Пусть скорость Юры равна \( v_Y \), а скорость Оли — \( v_O \). Когда Юра и Оля встретились, у Юры оставалось идти ещё 2 минуты, то есть он прошёл за время \( t \) расстояние \( d_Y = v_Y \cdot t \). Оля в момент встречи оставалось идти 18 минут, значит, она прошла за время \( t \) расстояние \( d_O = v_O \cdot t \), а потом ей ещё оставалось пройти 18 минут со своей скоростью: \[ d_O + v_O \cdot 18 = d_{total} \] Поскольку оба они идут с постоянной скоростью, расстояние, которое прошёл Юра, и расстояние, которое прошла Оля, составляют одну и ту же величину \( d_{total} \): \[ d_Y + v_Y \cdot 2 = d_O + v_O \cdot 18 \] Подставим выражения для расстояний через \( t \): \[ v_Y \cdot t + v_Y \cdot 2 = v_O \cdot t + v_O \cdot 18 \] Соберём все члены с \( t \) в одну сторону: \[ v_Y \cdot t - v_O \cdot t = v_O \cdot 18 - v_Y \cdot 2 \] Вынесем \( t \) за скобки: \[ (v_Y - v_O) \cdot t = v_O \cdot 18 - v_Y \cdot 2 \] Отсюда выразим \( t \): \[ t = \frac{v_O \cdot 18 - v_Y \cdot 2}{v_Y - v_O} \] Теперь заметим, что в момент, когда они встретились, Юра прошёл за это время путь, который он продолжит проходить после встречи (2 минуты), а Оля — путь, который она продолжит проходить (18 минут). Во время встречи скорости можно считать пропорциональными времени, которое осталась им пройти. Так как Юра прошёл меньше, чем Оля, означает, что \[ t = k \cdot 2 \quad \text{и} \quad t = k \cdot 18 \] где \( k \) — отношение расстояний. Сравнив \( 2k = 18k \): В данном случае оно определяет их встречу по времени \( t \) с теми значениями. Таким образом, \[ \text{общее время} = t + 2 = 18 \] где \( t = 16 \). Итак, Юра и Оля встретились через 16 минут после выхода.