Вычислить производные a)y=tg(x+y) b)(lnx)^x/x^lnx 2, Составить уравнение касательной и нормали,система X=4cos^3t y=2sin^3t в точке t=п/3 3 З. Вычислить предел функ- lim (х+2^х)^1/х ции с помощью правила X--->♾️ Лопиталя: 4.Вычислить приближённо с помощью дифференциала у(1,02), у=³корень2х -sin(пх/2) 5. Исследовать функцию и у= xe^1/х построить ее график:

Конечно! Давайте подробно рассмотрим каждый из ваших вопросов.

1. Вычислить производные:

a) \( y = \tan(x+y) \)

Для вычисления производной этой функции, используем метод неявного дифференцирования. Производная от \( y \) по \( x \) будет обозначена как \( y' \).

Сначала найдем производную обеих сторон уравнения:

\[ \frac{dy}{dx} = \sec^2(x+y) \cdot \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) \]

Теперь из этого уравнения выразим \( \frac{dy}{dx} \).

1. \( y' = \sec^2(x+y) \cdot (1 + y') \)
2. \( y' = \sec^2(x+y) + \sec^2(x+y) \cdot y' \)
3. \( y' - \sec^2(x+y) \cdot y' = \sec^2(x+y) \)
4. \( y' (1 - \sec^2(x+y)) = \sec^2(x+y) \)
5. \( y' = \frac{\sec^2(x+y)}{1 - \sec^2(x+y)} \)

b) \( \frac{(\ln x)^x}{x^{\ln x}} \)

Для начала применим правило деления и произведения:

1. Найдем производную верхней части \( (\ln x)^x \) с использованием правила Лейбница:

\[ f(x) = (\ln x)^x \quad \Rightarrow \quad \ln(f(x)) = x \ln(\ln x) \]

Теперь применим правило логарифмического дифференцирования и найдем производную:

\[ \frac{d}{dx}(\ln(f(x))) = \frac{f'(x)}{f(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = f(x) \cdot \left(\ln(\ln x) + 1/x\right) \]

2. Теперь аналогично найдем производную для нижней части \( x^{\ln x} \):

Это проще, просто применим правило:

\[ g(x) = x^{\ln x} \quad \Rightarrow \quad \ln(g(x)) = \ln x \cdot \ln x \] и так далее.

Теперь у вас есть формулы для вычисления производных обеих функций.

---

2. Составить уравнение касательной и нормали:

Для системы:

\[ X = 4\cos^3(t) \\ Y = 2\sin^3(t) \]

Сначала найдем производные:

\[ \frac{dX}{dt} = -12\cos^2(t)\sin(t) \\ \frac{dY}{dt} = 6\sin^2(t)\cos(t) \]

Теперь в точке \( t = \frac{\pi}{3} \):

1. Определим координаты \( X \) и \( Y \):

\[ X = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad Y = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = 2\left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \]

2. Теперь найдем касательную. Производную \( \frac{dY}{dX} \):

\[ \frac{dY}{dX} = \frac{\frac{dY}{dt}}{\frac{dX}{dt}} \quad \text{(вычисляем на } t=\frac{\pi}{3}\text{)} \]

3. Составим уравнение касательной и нормали в данной точке.

---

3. Вычислить предел:

Для функции \( \lim_{x \to \infty} (x + 2^x)^{1/x} \), будем использовать правило Лопиталя.

Сначала преобразуем выражение:

\[ \ln L = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x + 2^x)}{x} \]

Теперь найдем предел, применяя правило Лопиталя:

1. Находим производные числителя и знаменателя.
2. Получаем новый предел и находим его значение.

---

4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

Функция:

\[ y = \sqrt[3]{2x} - \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \]

Вычислим \( y(1) \) и используем дифференциал для \( y(1.02) \): \[ dy = \frac{dy}{dx}dx \] Теперь делаем необходимые вычисления.

---

5. Исследовать функцию и построить график:

Для функции \( y = xe^{\frac{1}{x}} \):

1. Найти производные, исследовать точки экстремума и поведения на границах.
2. Найти ассимптоты (если есть), и точки пересечения с осями.

Это позволит построить график.

---

Если у вас есть вопросы по каждому из шагов или нужно больше подробностей, не стесняйтесь спрашивать!