Найти наименьшее и наибольшее значение функции a) y=sin x на отрезке [п/4;5п/3]

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции \( y = \sin x \) на отрезке \( [\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{3}] \), следует выполнить следующие шаги:

1. Определить значения функции на границах отрезка:

   • Посчитаем \( y \) в начале и в конце отрезка: \[ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \] \[ y\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866 \]

2. Найти критические точки функции: Для этого нужно найти производную функции \( y = \sin x \) и приравнять её к нулю. \[ \frac{dy}{dx} = \cos x \] Уравнение \( \cos x = 0 \) имеет решения \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (где \( k \) — целое число). В пределах нашего интервала \( [\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{3}] \) находится только одна критическая точка:

   • \( x = \frac{\pi}{2} \)

3. Вычислить значение функции в критической точке: \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \]

4. Сравнить все найденные значения: Значения функции:

   • \( y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \)
   • \( y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)
   • \( y\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866 \)

5. Определить наименьшее и наибольшее значения:

   • Наибольшее значение на отрезке: \( 1 \)
   • Наименьшее значение на отрезке: \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Таким образом, наименьшее значение функции \( y = \sin x \) на отрезке \( [\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{3}] \) равно \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \), а наибольшее значение равно \( 1 \).