Найди х1 в кубе +х2 в кубе где х1 и х2 корни уравнения 5х в квадрате +8х -11=0
Чтобы найти \( x_1^3 + x_2^3 \), где \( x_1 \) и \( x_2 \) - корни уравнения \( 5x^2 + 8x - 11 = 0 \), начнем с нахождения самих корней.
Для поиска корней уравнения квадратного типа \( ax^2 + bx + c = 0 \) используем формулу корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае:
- \( a = 5 \)
- \( b = 8 \)
- \( c = -11 \)
Теперь подставим значения в формулу:
- Сначала считаем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-11) = 64 + 220 = 284 \]
- Находим корни:
\[ x_1, x_2 = \frac{-8 \pm \sqrt{284}}{2 \cdot 5} \]
Сначала вычислим \( \sqrt{284} \):
\[ \sqrt{284} = \sqrt{4 \cdot 71} = 2\sqrt{71} \]
Теперь подставим это значение:
\[ x_1, x_2 = \frac{-8 \pm 2\sqrt{71}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{71}}{5} \]
Таким образом, корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{71}}{5}, \quad x_2 = \frac{-4 - \sqrt{71}}{5} \]
Теперь мы можем использовать формулу для суммы кубов:
\[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) \]
Для этого найдем \( x_1 + x_2 \) и \( x_1x_2 \):
- \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{8}{5} \)
- \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{11}{5} \)
Теперь найдем \( x_1^2 + x_2^2 \):
\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = \left(-\frac{8}{5}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\frac{11}{5}\right) \]
Считаем:
\[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{64}{25} + \frac{22}{5} = \frac{64}{25} + \frac{110}{25} = \frac{174}{25} \]
Теперь подставим все значения в формулу для суммы кубов:
\[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2) \left( x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 \right) = \left(-\frac{8}{5}\right) \left(\frac{174}{25} - \left(-\frac{11}{5}\right)\right) \]
Считаем:
\[ x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 = \frac{174}{25} + \frac{55}{25} = \frac{229}{25} \]
Теперь подставим это значение:
\[ x_1^3 + x_2^3 = \left(-\frac{8}{5}\right) \left(\frac{229}{25}\right) = -\frac{8 \cdot 229}{125} = -\frac{1832}{125} \]
Таким образом, значение \( x_1^3 + x_2^3 \) равно \( -\frac{1832}{125} \).
