Найти точку пересечения прямой х-2/2=у-2/-1=z-4/3 и плоскости х+3у+5z-42=0

Данную прямую можно представить в параметрической форме. Уравнение прямой выглядит так:

\[ \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 4}{3} = t. \]

Это дает нам следующее представление через параметр \(t\):

\[ x = 2 + 2t, \] \[ y = 2 - t, \] \[ z = 4 + 3t. \]

Теперь подставим эти параметры в уравнение плоскости \(x + 3y + 5z - 42 = 0\):

\[ (2 + 2t) + 3(2 - t) + 5(4 + 3t) - 42 = 0. \]

Раскроем скобки:

\[ 2 + 2t + 6 - 3t + 20 + 15t - 42 = 0, \]

объединим подобные:

\[ (2t - 3t + 15t) + (2 + 6 + 20 - 42) = 0, \] \[ 14t - 14 = 0. \]

Упростим уравнение:

\[ 14t = 14 \Rightarrow t = 1. \]

Теперь подставим значение \(t = 1\) в параметрические уравнения прямой:

\[ x = 2 + 2(1) = 4, \] \[ y = 2 - (1) = 1, \] \[ z = 4 + 3(1) = 7. \]

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты \((4, 1, 7)\).