На оси OY найти точку равноудалиную от A(2; 3; 1) B(-2 ; -4; 3)

Для нахождения точки, равноудаленной от точек A(2; 3; 1) и B(-2; -4; 3), на оси OY, обозначим искомую точку как C(0; y; 0) (поскольку данная точка будет находиться на оси OY, координата x равна 0 и координата z равна 0).

Чтобы точка C была равноудалена от точек A и B, расстояние от C до A должно быть равно расстоянию от C до B.

Используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Расстояние между точками C и A можно выразить так:

\( d(C, A) = \sqrt{(0 - 2)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{4 + (y - 3)^2 + 1} = \sqrt{(y - 3)^2 + 5} \)

А расстояние между точками C и B:

\( d(C, B) = \sqrt{(0 + 2)^2 + (y + 4)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{4 + (y + 4)^2 + 9} = \sqrt{(y + 4)^2 + 13} \)

Теперь, чтобы продвинуться дальше, мы можем приравнять эти два расстояния:

\( \sqrt{(y - 3)^2 + 5} = \sqrt{(y + 4)^2 + 13} \)

Квадратируем обе стороны уравнения:

\( (y - 3)^2 + 5 = (y + 4)^2 + 13 \)

Раскроем скобки:

\( y^2 - 6y + 9 + 5 = y^2 + 8y + 16 + 13 \)

Собираем подобные:

\( y^2 - 6y + 14 = y^2 + 8y + 29 \)

Теперь вычтем \(y^2\) из обеих сторон:

\( -6y + 14 = 8y + 29 \)

\( 14 - 29 = 8y + 6y \)

\( -15 = 14y \)

Разделим обе стороны на 14:

\( y = -\frac{15}{14} \)

Таким образом, искомая точка C на оси OY будет находиться в координатах \( C(0; -\frac{15}{14}; 0) \).