На стороне АС треугольника АВС выбрана точка D так, что AD:DC=2:3. Длина перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону ВС, равна 9. Найдите сторону ВС, если площадь треугольника АВС равна 30.

Для решения задачи воспользуемся формулой для площади треугольника и свойственностями высоты.

Обозначим длину стороны \( BC \) как \( a \). Площадь треугольника \( ABC \) может быть выражена через основание и высоту следующей формулой:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h, \]

где \( S \) — площадь треугольника, \( a \) — длина основания (стороны \( BC \)), и \( h \) — высота, проведенная из точки \( A \) на сторону \( BC \).

В данном случае нам известно, что площадь треугольника \( ABC \) равна 30, а высота \( h \) из точки \( D \) на сторону \( BC \) равна 9. Однако, так как точка \( D \) делит отрезок \( AC \) в отношении 2:3, мы можем найти высоту \( h \) из точки \( A \).

Поскольку высота из точки \( D \) на \( BC \) равна 9, это означает, что площадь треугольника \( ABD \) (через высоту \( h \)) также может быть использована для нахождения площади. Найдем площадь треугольника \( ABD \):

\[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_{D}, \]

где \( h_{D} = 9 \). Теперь нам необходимо выразить \( AD \) через длину всей стороны \( AC \).

Поскольку \( AD:DC = 2:3 \), то \( AD = \frac{2}{5} AC \) и \( DC = \frac{3}{5} AC \).

Теперь подставим: \[ S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ADC}. \]

Площадь треугольника \( S_{ABD} \) будет:

\[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} a \cdot h, \]

где \( h = 9 \).

Теперь находим, что \( S_{ABC} = 30 \):

\[ 30 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 9. \]

Упрощаем выражение находим \( a \):

\[ 30 = \frac{9}{2} a \implies 30 \cdot 2 = 9a \implies 60 = 9a \implies a = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}. \]

Таким образом, длина стороны \( BC \) равна \( \frac{20}{3} \) или приблизительно 6,67.

Ответ: Длина стороны \( BC \) равна \( \frac{20}{3} \).