Сколько существует натуральных чисел меньше 2024 которые не кратны ни 3 ни 5 ни 7

Для того чтобы найти количество натуральных чисел меньше 2024, которые не кратны ни 3, ни 5, ни 7, мы можем использовать принцип включения-исключения.

Обозначим:

• \( A \) — множество чисел, кратных 3,
• \( B \) — множество чисел, кратных 5,
• \( C \) — множество чисел, кратных 7.

Нам нужно найти количество элементов в объединении этих множеств, а затем вычесть это количество из общего числа натуральных чисел меньше 2024.

1. Найдем количество чисел, кратных каждому из чисел (3, 5, 7):

   • \( |A| = \left\lfloor \frac{2023}{3} \right\rfloor = 674 \)
   • \( |B| = \left\lfloor \frac{2023}{5} \right\rfloor = 404 \)
   • \( |C| = \left\lfloor \frac{2023}{7} \right\rfloor = 289 \)

2. Найдем количество чисел, кратных парам чисел (15, 21, 35):

   • \( |A \cap B| = \left\lfloor \frac{2023}{15} \right\rfloor = 134 \)
   • \( |A \cap C| = \left\lfloor \frac{2023}{21} \right\rfloor = 96 \)
   • \( |B \cap C| = \left\lfloor \frac{2023}{35} \right\rfloor = 57 \)

3. Найдем количество чисел, кратных всем трем числам (105):

   • \( |A \cap B \cap C| = \left\lfloor \frac{2023}{105} \right\rfloor = 19 \)

4. Применяя принцип включения-исключения, вычислим количество чисел, кратных хотя бы одному из чисел 3, 5 или 7: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \] \[ |A \cup B \cup C| = 674 + 404 + 289 - 134 - 96 - 57 + 19 = 1099 \]

5. Общее количество натуральных чисел меньше 2024: \[ N = 2023 \]

6. Вычтем из общего количества то количество чисел, которые кратны 3, 5 или 7: \[ N' = N - |A \cup B \cup C| = 2023 - 1099 = 924 \]

Таким образом, количество натуральных чисел меньше 2024, которые не кратны ни 3, ни 5, ни 7, равно 924.