определить интервалы возрастания и убывания функции, исследовать ее на экстремум, определить интервалы выпуклости и вогнутости графика, найти координаты точек перегиба…

Чтобы исследовать функцию \( y = -x^3 + 9x^2 - 24x + 14 \), начнем с определения её производной, находящейся на первом этапе.

1. Находим первую производную: \[ y' = \frac{dy}{dx} = -3x^2 + 18x - 24. \]

2. Решаем уравнение \( y' = 0 \) для нахождения критических точек: \[ -3x^2 + 18x - 24 = 0. \] Упростим уравнение, разделив на -3: \[ x^2 - 6x + 8 = 0. \] Теперь можем найти корни с помощью дискриминанта: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4. \] Корни: \[ x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2. \]

3. Определяем интервалы возрастания и убывания: Проверяем знаки производной на интервалах:

   • Для \( x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = -24 < 0 \) (убывание).
   • Для \( 2 < x < 4 \) (например, \( x = 3 \)): \( y' = -3(3^2) + 18(3) - 24 = -27 + 54 - 24 = 3 > 0 \) (возрастание).
   • Для \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \( y' = -3(5^2) + 18(5) - 24 = -75 + 90 - 24 = -9 < 0 \) (убывание).

Таким образом, функция имеет:

• Интервал возрастания: \( (2, 4) \)
• Интервалы убывания: \( (-\infty, 2) \) и \( (4, +\infty) \)

4. Находим вторую производную для исследования выпуклости и вогнутости: \[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = -6x + 18. \] Теперь найдем точки перегиба, решив уравнение \( y'' = 0 \): \[ -6x + 18 = 0 \implies 6x = 18 \implies x = 3. \]

5. Исследуем знаки второй производной:

   • Для \( x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( y'' = 18 > 0 \) (выпуклость).
   • Для \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( y'' = -6(4) + 18 = -24 + 18 = -6 < 0 \) (вогнутость).

Таким образом:

• Функция выпуклая на интервале \( (-\infty, 3) \).
• Функция вогнутая на интервале \( (3, +\infty) \).

6. Координаты точки перегиба: Для нахождения координат точки перегиба \( (3, y(3)) \), подставим \( x = 3 \) в исходное уравнение: \[ y(3) = -3^3 + 9(3^2) - 24(3) + 14 = -27 + 81 - 72 + 14 = -4. \] Таким образом, координаты точки перегиба: \( (3, -4) \).

Резюме:

• Интервалы возрастания: \( (2, 4) \).
• Интервалы убывания: \( (-\infty, 2) \) и \( (4, +\infty) \).
• Функция выпуклая на \( (-\infty, 3) \) и вогнутая на \( (3, +\infty) \).
• Точка перегиба: \( (3, -4) \).