4.Вычислить приближённо с помощью дифференциала у(1,02), у=³корень2х -sin(пх/2)
Чтобы приблизительно вычислить функцию \( y(1.02) \) с помощью дифференциала, начнем с определения функции:
\[ y = \sqrt[3]{2x} - \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \]
Для вычисления находим производную функции \( y \):
- Найдем производную:
Рассмотрим две части функции отдельно:
Первая часть \( y_1 = \sqrt[3]{2x} \):
Используя правило дифференцирования для корней, производная \( y_1' \):
\[ y_1' = \frac{d}{dx} (2x)^{1/3} = \frac{1}{3}(2x)^{-2/3} \cdot (2) = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x)^2}} \]
Вторая часть \( y_2 = -\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \):
Используя правило цепной производной, производная \( y_2' \):
\[ y_2' = -\frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) \]
- Общая производная:
Теперь сложим обе производные:
\[ y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x)^2}} - \frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) \]
- Находим значение функции и её производной в точке \( x = 1 \):
- Для \( x = 1 \):
\[ y(1) = \sqrt[3]{2 \cdot 1} - \sin\left(\frac{\pi \cdot 1}{2}\right) = \sqrt[3]{2} - 1 \]
- Для производной \( y'(1) \):
\[ y'(1) = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2 \cdot 1)^2}} - \frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi \cdot 1}{2}\right) \]
Так как \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \),
\[ y'(1) = \frac{2}{3\sqrt[3]{2^2}} = \frac{2}{3\cdot2^{2/3}} = \frac{2}{3 \cdot 2^{2/3}} = \frac{2^{1/3}}{3} \]
- Используем дифференциал для приближенного вычисления:
Используем формулу:
\[ dy \approx y'(a) \cdot (x - a) \]
Выбираем \( a = 1 \) и \( x = 1.02 \):
\[ dy \approx y'(1) \cdot (1.02 - 1) = \frac{2^{1/3}}{3} \cdot 0.02 \]
- Приближенное значение функции \( y(1.02) \):
Теперь можем найти:
\[ y(1.02) \approx y(1) + dy = \left(\sqrt[3]{2} - 1\right) + \frac{2^{1/3}}{3} \cdot 0.02 \]
В конечном итоге подставим числовые значения (примерно):
- Значение \( \sqrt[3]{2} \approx 1.26 \)
Тогда:
\[ y(1.02) \approx (1.26 - 1) + \frac{2^{1/3}}{3} \cdot 0.02 \approx 0.26 + 0.0133 \approx 0.2733 \]
Таким образом, приближенное значение \( y(1.02) \) составит примерно \( 0.273 \).
