найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD,если A(0;0), B(3;4) и C(5;9)
Чтобы найти координаты вершины D параллелограмма ABCD, можем использовать свойства параллелограмма. В параллелограмме противолежащие вершины делят его пополам. Векторы AB и CD равны, а также векторы AD и BC равны.
Мы знаем координаты трёх вершин:
- A(0; 0)
- B(3; 4)
- C(5; 9)
Сначала найдём координаты вершины D. Мы можем воспользоваться формулой для средней точки отрезка, которая выглядит так:
Если M — середина отрезка AB, то: \[ M_x = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad M_y = \frac{y_A + y_B}{2} \]
Поэтому координаты середины отрезка AC могут быть записаны как: \[ M_{AC} = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) \] Подставим координаты A и C: \[ M_{AC} = \left(\frac{0 + 5}{2}, \frac{0 + 9}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right) \]
Параллелограмм имеет равные средние точки для противоположных сторон, следовательно: \[ M_{AC} = M_{BD} \]
Где B и D — две другие вершины. Мы уже знаем координаты B(3; 4), поэтому можем записать: \[ M_{BD} = \left(\frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}\right) \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \(\frac{3 + x_D}{2} = \frac{5}{2}\)
- \(\frac{4 + y_D}{2} = \frac{9}{2}\)
Решим первое уравнение для \(x_D\): \[ 3 + x_D = 5 \] \[ x_D = 5 - 3 = 2 \]
Теперь решим второе уравнение для \(y_D\): \[ 4 + y_D = 9 \] \[ y_D = 9 - 4 = 5 \]
Таким образом, координаты вершины D параллелограмма ABCD равны \(D(2; 5)\).
