Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120 , а его площадь — 150√3 см . Найдите боковую сторону треугольника
Чтобы найти боковую сторону равнобедренного треугольника, когда угол при вершине равен 120 градусов и площадь треугольника составляет 150√3 см², можно использовать формулы для площади и свойства треугольника.
Обозначим данные:
- Угол при вершине треугольника \( A = 120^\circ \).
- Площадь \( S = 150\sqrt{3} \).
Вспомним формулу для площади треугольника, используя сторону и угол:
Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту или через боковые стороны. Для равнобедренного треугольника площадь также может быть найдена следующим образом:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]
где \( a \) – основание, \( h \) – высота.
Также можно использовать формулу через две стороны и угол между ними:
Если \( b \) – длина боковой стороны, то:
\[ S = \frac{b^2 \cdot \sin A}{2} \]
Подставим значения.
Выразим \(\sin 120^\circ\):
\(\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Подставим это значение в формулу для площади:
\[ S = \frac{b^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \]
Упрощаем:
\[ S = \frac{b^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \]
Подставим \( S = 150\sqrt{3} \):
\[ 150\sqrt{3} = \frac{b^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \]
Упростим уравнение, разделив обе стороны на \(\sqrt{3}\):
\[ 150 = \frac{b^2}{4} \]
Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:
\[ 600 = b^2 \]
Извлечем квадратный корень:
\[ b = \sqrt{600} = \sqrt{100 \cdot 6} = 10\sqrt{6} \]
Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника составляет \( 10\sqrt{6} \) см.
