Найдите длину СК - медианы треугольника АВС, если А (1;2;1), В (-4;6;3), C (-5;2;1).

Чтобы найти длину медианы \( SK \) треугольника \( ABC \), где \( A(1,2,1) \), \( B(-4,6,3) \), \( C(-5,2,1) \), нам сначала нужно определить координаты середины стороны \( BC \).

Координаты середины отрезка \( BC \) можно вычислить по формуле:

\[ M\left(x_M, y_M, z_M\right) = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) \]

Подставим координаты точек \( B \) и \( C \):

• \( x_B = -4 \), \( y_B = 6 \), \( z_B = 3 \)
• \( x_C = -5 \), \( y_C = 2 \), \( z_C = 1 \)

Теперь найдем координаты точки \( M \): \[ x_M = \frac{-4 + (-5)}{2} = \frac{-9}{2} = -4.5 \] \[ y_M = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ z_M = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Таким образом, координаты точки \( M \) (середины \( BC \)) равны \( M\left(-4.5, 4, 2\right) \).

Теперь вычислим длину медианы \( SK \) (от \( A \) до \( M \)) с использованием формулы расстояния в пространстве:

\[ d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2} \]

Где \( A(1, 2, 1) \) и \( M(-4.5, 4, 2) \). Подставим координаты: \[ d = \sqrt{(1 - (-4.5))^2 + (2 - 4)^2 + (1 - 2)^2} \] \[ = \sqrt{(1 + 4.5)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} \] \[ = \sqrt{(5.5)^2 + (2)^2 + (1)^2} \] \[ = \sqrt{30.25 + 4 + 1} \] \[ = \sqrt{35.25} \] \[ = \sqrt{\frac{141}{4}} = \frac{\sqrt{141}}{2} \]

Таким образом, длина медианы \( SK \) равна \( \frac{\sqrt{141}}{2} \).